공통수학1이차부등식과 연립이차부등식수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

분수부등식과 이차부등식

문제

부등식 $\displaystyle \frac{x - 1}{4 - x} > 1$ 을 만족시키는 모든 실수 $x$ 에 대하여 $x ^{2} - 6 x + k < 0$ 이 항상 성립하도록 하는 실수 $k$ 의 최댓값은? [4점] ① $3$ ② $\displaystyle \frac{15}{4}$ ③ $6$ ④ $\displaystyle \frac{25}{4}$ ⑤ $8$

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⑤

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해설

[출제의도] 분수부등식을 활용하여 여러 가지 문제를 해결하기 $\displaystyle \frac{x - 1}{4 - x} > 1$ 을 풀면 $\displaystyle \frac{5}{2} < x < 4$ 이므로 $x ^{2} - 6 x + k < 0$ 을 항상 만족시키는 $k$ 의 값의 범위를 구한다. $f ( x ) = x ^{2} - 6 x + k$ 로 놓을 때, $y = f ( x )$ 의 그래프가 그림과 같은 위치에 있어야 한다.

$f ( 4 ) = k - 8 \leq 0$ 이어야 하므로 최댓값은 8이다.

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