분수부등식 정수해 2개 조건

분수부등식 $\displaystyle \frac{x}{x - a} + \frac{x}{x - b} \leq 0$의 좌변을 통분하면 $\displaystyle \frac{x ( x - b )}{x - a} + \frac{x ( x - a )}{x - b} \leq 0$ $\displaystyle \frac{x ( 2 x - a - b )}{( x - a ) ( x - b )} \leq 0 \cdots \cdots \text{㉠}$ ㉠의 양변에 $( x - a ) ^{2} ( x - b ) ^{2}$을 곱하면 $x ( 2 x - a - b ) ( x - a ) ( x - b ) \leq 0$ $( \text{단} , x \ne a , x \ne b )$ 이 때, $\displaystyle a < \frac{a + b}{2} < b$이므로 주어진 분수부등식의 해는 $0 \leq x < a$ 또는 $\displaystyle \frac{a + b}{2} \leq x < b$ $a = 1 , b = 2$일 때 정수인 해가 존재하지 않는다. $a = 1 , b = 3$일 때 $\displaystyle \frac{a + b}{2} = 2$이므로 정수인 해는 $x = 0$, $x = 2$의 $2$개이다. $a = 1 , b = 4$일 때 $\displaystyle \frac{a + b}{2} = \frac{5}{2}$이므로 정수인 해는 $x = 0$, $x = 3$의 $2$개이다. $a = 1 , b \geq 5$일 때 정수인 해는 세 개 이상이다. $a = 2 , b = 3$일 때 $\displaystyle \frac{a + b}{2} = \frac{5}{2}$이므로 정수인 해는 $x = 0$, $x = 1$의 $2$개이다. $a = 2 , b \geq 4$일 때 정수인 해는 $3$개 이상이다. $a \geq 3$이면 정수인 해는 $3$개 이상이다. 따라서 구하는 순서쌍 $( a , b )$의 개수는 $( 1 , 3 ) , ( 1 , 4 ) , ( 2 , 3 )$의 $3$개이다.