분수부등식 정수 개수

[출제의도] 분수부등식을 이해하여 조건을 만족시키는 실수의 최솟값을 구한다. ⅰ) $\displaystyle \frac{( x - 4 ) ( x - 7 )}{x - 9} \geq 0$ 양변에 $( x - 9 ) ^{2}$을 곱하면 $( x - 4 ) ( x - 7 ) ( x - 9 ) \geq 0$, $x \ne 9$ 이므로 $4 \leq x \leq 7$ 또는 $x > 9$ ⅱ) $\displaystyle \frac{x - k}{x - 2} \leq 0$ 양변에 $( x - 2 ) ^{2}$을 곱하면 $( x - k ) ( x - 2 ) \leq 0$, $x \ne 2$ 따라서 부등식의 해는 $k < 2$인 경우 $k \leq x < 2$, $k = 2$인 경우 해가 없고, $k > 2$인 경우 $2 < x \leq k$이다. 주어진 연립부등식을 만족시키는 정수 $x$의 개수는 $7$이므로 ⅱ)의 해는 $2 < x \leq k$이고, $k > 9$이다. ⅰ), ⅱ)에 의하여 주어진 연립부등식의 해는 $4 \leq x \leq 7$ 또는 $9 < x \leq k$ 이때 정수 $x$의 개수가 $7$이므로 $4$, $5$, $6$, $7$, $10$, $11$, $12$가 포함되어야 한다. 따라서 $12 \leq k < 13$이므로 실수 $k$의 최솟값은 $12$이다.