분수방정식과 원

$\displaystyle \frac{1}{f ( x ) + 1} - \frac{1}{f ( x ) - 1} = \frac{2}{x ^{2}}$의 좌변을 통분하여 정리하면 $\displaystyle \frac{- 2}{\{ f ( x ) \} ^{2} - 1} = \frac{2}{x ^{2}}$ ∴ $\{ f ( x ) \} ^{2} = 1 - x ^{2}$ ∴ $\displaystyle f ( x ) = \pm \sqrt{1 - x ^{2}}$ 따라서 구하는 방정식의 실근은 두 곡선 $y = f ( x )$, $\displaystyle y = \pm \sqrt{1 - x ^{2}}$가 만나는 점의 $x$좌표 중에서 $f ( x ) \ne \pm 1$, $x \ne 0$인 $x$좌표와 같다.

그런데 $\displaystyle y = \pm \sqrt{1 - x ^{2}}$의 그래프는 원 $x ^{2} + y ^{2} = 1$과 같으므로 그림에서 두 곡선 $y = f ( x )$, $\displaystyle y = \pm \sqrt{1 - x ^{2}}$는 서로 다른 네 점에서 만난다. 그런데, $x \ne 0$, $f ( x ) \ne - 1$이므로 점 $( 0 , - 1 )$은 제외해야 한다. 따라서 구하는 실근의 개수는 $3$이다.