분수방정식 원소 개수

[출제의도] 분수방정식을 활용하여 문제해결하기 $\displaystyle \frac{1}{x} - 2 - \frac{a + 1}{x - 1} = 0$ $\displaystyle \frac{2 x ^{2} + \left( a - 2 \right) x + 1}{x \left( x - 1 \right)} = 0$ $x \ne 1$, $2 x ^{2} + \left( a - 2 \right) x + 1 = 0$ $\cdots \cdots \text{㉠}$ ⅰ) $\text{㉠}$이 무연근 $1$을 가질 때, $a = - 1$, $\displaystyle x = \frac{1}{2}$ ⅱ) $\text{㉠}$이 무연근 $1$을 갖지 않을 때, $\text{㉠}$의 판별식 $D = a ^{2} - 4 a - 4$에 대하여 ① $D > 0$인 경우 $\displaystyle a < 2 - 2 \sqrt{2}$($a \ne - 1$)일 때 $1$이 아닌 양의 실근 $2$개, $\displaystyle a > 2 + 2 \sqrt{2}$일 때 음의 실근 $2$개 ② $D = 0$인 경우 $\displaystyle a = 2 + 2 \sqrt{2}$일 때 $\displaystyle ( \sqrt{2} x + 1 ) ^{2} = 0$에서 $\displaystyle x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$, $\displaystyle a = 2 - 2 \sqrt{2}$일 때 $\displaystyle ( \sqrt{2} x - 1 ) ^{2} = 0$에서 $\displaystyle x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ③ $D < 0$인 경우 실근을 갖지 않는다. ⅰ), ⅱ)에 의하여 $a = - 1$ 또는 $\displaystyle a = 2 - 2 \sqrt{2}$ 따라서 $a$의 값의 합은 $\displaystyle 1 - 2 \sqrt{2}$