분수방정식 실근 없음

$\displaystyle \frac{1}{x - 1} - \frac{1}{x + 1} = \frac{a}{2 x ^{2}}$의 양변에 분모의 최소공배수 $2 x ^{2} ( x - 1 ) ( x + 1 )$을 곱하면 $2 x ^{2} ( x + 1 ) - 2 x ^{2} ( x - 1 ) = a ( x ^{2} - 1 )$ $4 x ^{2} = ax ^{2} - a$ $( a - 4 ) x ^{2} = a$ ⅰ) $a = 4$인 경우 $0 \cdot x ^{2} = 4$이므로 해가 존재하지 않는다. ⅱ) $a \not = 4$인 경우 $\displaystyle x ^{2} = \frac{a}{a - 4}$ … ㉠ (1) $\displaystyle \frac{a}{a - 4} \geq 0$이면 실근이 존재하지만 이 해가 모두 무연근이어야 하므로 ㉠에서 $x = 0$이면 $a = 0$ ㉠에서 $x = - 1$ 또는 $x = 1$이면 $a - 4 = a$이므로 실수 $a$가 존재하지 않는다. (2) $\displaystyle \frac{a}{a - 4} < 0$이면 실근이 존재하지 않으므로 $a ( a - 4 ) < 0$ $0 < a < 4$ 따라서 정수 $a$는 $1 , 2 , 3$이다. ⅰ), ⅱ)에서 정수 $a$는 $0 , 1 , 2 , 3 , 4$로 $5$개다.