분수방정식 실근

[출제의도] 분수방정식의 근 이해하기 ㄱ. $a = 0$일 때, $\displaystyle \frac{1}{x ( x + 2 )} = 1$이다. $x ^{2} + 2 x - 1 = 0$ 이므로 $\displaystyle x = - 1 \pm \sqrt{2}$ 이다. 두 실근의 합은 $- 2$이다. (참) ㄴ. $a = 2$일 때, $\displaystyle \frac{1}{x ( x + 2 )} + \frac{2}{x + 2} = 1$이므로 $x = 1 , - 1$인 두 실근을 가진다. (거짓) ㄷ. $\displaystyle \frac{x ^{3} + 2 x ^{2} - x - a}{x ( x + 2 ) ( x + a )} = 0$이다. 삼차방정식 $x ^{3} + 2 x ^{2} - x - a = 0$은 적어도 한 개의 실근을 갖는다. 한 실근이 무연근일 수 있으므로 한 실근을 $x = - a$라고 가정하면 $- a ^{3} + 2 a ^{2} + a - a = 0$이므로 $a = 0$, $2$이다. ㄱ, ㄴ에 의하여 두 개의 실근을 갖는다. 따라서, 주어진 방정식은 적어도 한 개의 실근을 갖는다. (참)