공통수학1여러 가지 방정식수능 기출기본 문제 (3점 중반)

분수방정식 단 하나의 실근

문제

분수방정식 kx+1−2x2−1+1=0\displaystyle \frac{k}{x + 1} - \frac{2}{x ^{2} - 1} + 1 = 0이 단 하나의 실근 α\alpha를 가질 때, k+αk + \alpha의 값은? (단, kk는 실수이다.) [3점] ①-2②-1③0④1⑤2

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④

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해설

주어진 분수방정식에서 양변에 x2−1x ^{2} - 1곱하여 정리하면 이차방정식 x2+kx−k−3=0x ^{2} + kx - k - 3 = 0을 얻는다. 이 이차방정식이 서로 다른 두 실근을 가지므로 그 중 한 근은 무연근이어야 한다. (ㄱ) x=1x = 1일 때 x=1x = 1을 이차방정식에 대입하면 1+k−k−3=01 + k - k - 3 = 0 −2≠0- 2 \ne 0 이므로 성립하지 않는다. (ㄴ) x=−1x = - 1일 때 x=−1x = - 1을 이차방정식에 대입하면 1−k−k−3=01 - k - k - 3 = 0이다 따라서 k=−1k = - 1이다 k=−1k = - 1을 이차방정식 x2+kx−k−3=0x ^{2} + kx - k - 3 = 0에 대입하면 방정식 x2−x−2=0x ^{2} - x - 2 = 0을 얻고, x=−1x = - 1또는 x=2x = 2의 해를 갖는다 ∴α=2\therefore \alpha = 2 (ㄱ),(ㄴ)에 의해 k+α=(−1)+2=1k + \alpha = ( - 1 ) + 2 = 1 이다

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#분수방정식#무연근

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