분수 조건을 만족시키는 순서쌍 세기

$x$, $y$가 자연수이므로 $\displaystyle \frac{1}{y} > 0$이고, $\displaystyle \frac{1}{x} = \frac{1}{6} - \frac{1}{y} < \frac{1}{6}$에서 $x > 6$ 같은 방법으로 $y > 6$ $\displaystyle \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{6}$의 양변에 $6 xy$를 곱하면 $6 y + 6 x = xy$ $xy - 6 x - 6 y = 0$ $xy - 6 x - 6 y + 36 = 36$ $( x - 6 ) ( y - 6 ) = 36$ $x - 6$, $y - 6$은 자연수이고 곱이 $36$이므로 $x - 6 = 1 , 2 , 3 , 4 , 6 , 9 , 12 , 18 , 36$ 의 $9$가지가 있고 그 각각에 대하여 $y - 6$이 하나로 정해진다. 즉, 집합 $A$의 원소는 $( 7 , 42 ) , ( 8 , 24 ) , ( 9 , 18 ) , ( 10 , 15 ) , ( 12 , 12 ) , ( 15 , 10 ) , ( 18 , 9 ) , ( 24 , 8 ) , ( 42 , 7 )$ 따라서 집합 $A$의 원소의 개수는 $9$