확률과 통계확률분포수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

분산의 대소

문제

다음과 같이 정의된 확률변수 $X$ , $Y$ , $Z$ 의 분산의 대소 관계를 바르게 나타낸 것은? (단, $\mathrm{V} \mathit{(} X )$ 는 확률변수 $X$ 의 분산이다.) [3점]

$X$ : 연속하는 $100$ 개의 자연수에서 임의로 뽑은 두 수의 차 $Y$ : 연속하는 $100$ 개의 홀수에서 임의로 뽑은 두 수의 차 $Z$ : 연속하는 $100$ 개의 짝수에서 임의로 뽑은 두 수의 차

① $\mathrm{V} \mathit{(} X ) < \mathrm{V} \mathit{(} Y ) < \mathrm{V} \mathit{(} Z )$ ② $\mathrm{V} \mathit{(} X ) = \mathrm{V} \mathit{(} Y ) = \mathrm{V} \mathit{(} Z )$ ③ $\mathrm{V} \mathit{(} X ) > \mathrm{V} \mathit{(} Y ) = \mathrm{V} \mathit{(} Z )$ ④ $\mathrm{V} \mathit{(} X ) = \mathrm{V} \mathit{(} Y ) < \mathrm{V} \mathit{(} Z )$ ⑤ $\mathrm{V} \mathit{(} X ) < \mathrm{V} \mathit{(} Y ) = \mathrm{V} \mathit{(} Z )$

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⑤

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해설

(ⅰ) 연속하는 $100$ 개의 자연수를 $a _{1}$ , $a _{2}$ , …, $a _{100}$ 으로 놓으면 $1 \leq | a _{i} - a _{j} | \leq 99$ ( $i$ , $j = 1$ , 2, …, 100, $i \neq j$ ) 따라서, 확률변수 $X$ 가 취할 수 있는 값은 1, 2, 3, …, 99이다. (ⅱ) 연속하는 $100$ 개의 홀수를 $b _{1}$ , $b _{2}$ , …, $b _{100}$ 으로 놓으면 $2 \leq | b _{k} - b _{l} | \leq 198$ ( $k$ , $l = 1$ , 2, …, 100, $k \neq l$ ) 따라서, 확률변수 $Y$ 가 취할 수 있는 값은 2, 4, 6, …, 198이다. (ⅲ) 연속하는 $100$ 개의 짝수를 $c _{1}$ , $c _{2}$ , …, $c _{100}$ 으로 놓으면 $2 \leq | c _{m} - c _{n} | \leq 198$ ( $m$ , $n = 1$ , 2, …, 100, $m \neq n$ ) 따라서, 확률변수 $Z$ 가 취할 수 있는 값은 2, 4, 6, …, 198이다. 따라서, $Y = Z = 2 X$ 이므로 V(Y )=V(Z )=4V(X ) ∴ V(X )＜V(Y )=V(Z )

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