불연속 기함수 보기

[출제의도] 미분법을 이해하여 조건에 맞는 함수의 그래프를 추측한다. 주어진 조건에서 함수 $f ( x )$의 그래프는 원점에 대하여 대칭이고 원점을 지난다. 또, 함수 $f ( x )$는 $x \ne - 1$, $x \ne 1$인 모든 $x$에서 연속이고, 구간 $( - \infty , - 1 )$, $( - 1 , 1 )$, $( 1 , \infty )$에서 각각 감소한다. ㄱ. 함수 $f \left( x \right)$의 그래프는 직선 $y = x$와 원점에서만 만난다. ㄴ. (반례) 함수 $\displaystyle f ( x ) = {\begin{cases} - x ( | x | \leq 1 ) \\ \frac{1}{x} ( | x | > 1 ) \end{cases}}$은 주어진 조건을 만족시키지만 $x$축과 원점에서만 만난다.

ㄷ. 함수 $f ( x )$는 닫힌 구간 $[ 0 , 1 ]$에서 연속이고, 열린 구간 $( 0 , 1 )$에서 미분가능하므로 평균값의 정리에 의하여 $\displaystyle f' ( c _{1} ) = \frac{- 1 - 0}{1 - 0} = - 1$ 을 만족시키는 실수 $c _{1}$이 열린 구간 $( 0 , 1 )$에 적어도 하나 존재한다. 마찬가지로 함수 $f ( x )$는 닫힌 구간 $[ - 1 , 0 ]$에서 연속이고, 열린 구간 $( - 1 , 0 )$에서 미분가능하므로 $\displaystyle f' ( c _{2} ) = \frac{1 - 0}{- 1 - 0} = - 1$ 을 만족시키는 실수 $c _{2}$가 열린 구간 $( - 1 , 0 )$에 적어도 하나 존재한다. 그러므로 $f' ( \alpha ) = - 1$을 만족시키는 실수 $\alpha$가 적어도 두 개 존재한다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다.