부정이 참인 자연수 a의 합

실마리: 부정을 정확히 세운 뒤, 구간이 제한된 명제는 그 구간에서의 최솟값을 본다. [1] $\sim q$가 참인 조건 $\sim q$ : 모든 실수 $x$에 대하여 $x ^{2} - 2 ax + 4 a + 5 \geq 0$이다. 이차방정식 $x ^{2} - 2 ax + 4 a + 5 = 0$의 판별식을 $D$라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4} = a ^{2} - 4 a - 5 \leq 0$ $( a + 1 ) ( a - 5 ) \leq 0$이므로 $- 1 \leq a \leq 5$ [2] $\sim p$가 참인 조건 $\sim p$ : $1 \leq x \leq 4$인 어떤 실수 $x$에 대하여 $x ^{2} - 2 ax + 4 \leq 0$이다. $f ( x ) = x ^{2} - 2 ax + 4 = ( x - a ) ^{2} - a ^{2} + 4$라 하면, $1 \leq x \leq 4$에서 $f ( x )$의 최솟값이 $0$ 이하이어야 한다. (ⅰ) $a < 1$이면 최솟값은 $f ( 1 ) = 5 - 2 a > 3$이므로 조건을 만족시키지 않는다. (ⅱ) $1 \leq a \leq 4$이면 최솟값은 $f ( a ) = 4 - a ^{2} \leq 0$에서 $a \geq 2$, 즉 $2 \leq a \leq 4$ (ⅲ) $a > 4$이면 최솟값은 $f ( 4 ) = 20 - 8 a < 0$이므로 항상 만족시킨다. 따라서 $\sim p$가 참이려면 $a \geq 2$ [3] $2 \leq a \leq 5$이므로 자연수 $a$는 $2 , 3 , 4 , 5$ 따라서 모든 자연수 $a$의 값의 합은 $2 + 3 + 4 + 5 = 14$