부호가 바뀌는 등차수열의 항

등차수열 $\left\{ a _{n} \right\}$의 첫째항을 $a$, 공차를 $d$라 하면 $a _{4} = a + 3 d = 42$ $\displaystyle S _{10} = \frac{10 \left( a _{1} + a _{10} \right)}{2} = 5 \left( a _{1} + a _{10} \right) = 5 \left( a _{5} + a _{6} \right)$ $\displaystyle S _{11} = \frac{11 \left( a _{1} + a _{11} \right)}{2} = 11 a _{6}$ 이므로 $S _{10} S _{11} < 0$에 대입하면 $5 \left( a _{5} + a _{6} \right) \times 11 a _{6} < 0$, $\left( a _{5} + a _{6} \right) a _{6} < 0$ $a _{4} = 42$이므로 $a _{5} = a _{4} + d = 42 + d$, $a _{6} = a _{4} + 2 d = 42 + 2 d$ $\left( a _{5} + a _{6} \right) a _{6} < 0$에 대입하면 $\left\{ \left( 42 + d \right) + \left( 42 + 2 d \right) \right\} \left( 42 + 2 d \right) < 0$ $\left( 84 + 3 d \right) \left( 42 + 2 d \right) < 0$, $\left( d + 21 \right) \left( d + 28 \right) < 0$ $\therefore$ $- 28 < d < - 21$ 공차 $d$가 음수이므로 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 감소하는 수열이다. 이때 $a _{5} = 42 + d$이고 $- 28 < d < - 21$이므로 $42 - 28 < 42 + d < 42 - 21$, $14 < a _{5} < 21$ $\therefore$ $a _{5} > 0$ 또한 $a _{6} = 42 + 2 d$이고 $- 28 < d < - 21$이므로 $42 - 56 < 42 + 2 d < 42 - 42$, $- 14 < a _{6} < 0$ $\therefore$ $a _{6} < 0$ 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$이 감소하는 수열이고, $a _{5} > 0$이고 $a _{6} < 0$이므로 $a _{n} < 0$을 만족시키는 자연수 $n$의 최솟값은 $6$이다.