확률과 통계확률분포수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

부호 교대 확률분포

문제

다음은 확률변수 $X$ 의 확률분포가 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{(} X = k ) = \frac{1}{10} + ( - 1 ) ^{k} p ( k = 1 , 2 , 3 , \cdots , 2 n )$ 인 확률변수 $X$ 의 확률분포표이다.

$X$	$1$	$2$	$3$	$\cdots$	$2 n$	계
$\mathrm{P} ( \mathit{X} = k )$	$\displaystyle \frac{1}{10} - p$	$\displaystyle \frac{1}{10} + p$	$\displaystyle \frac{1}{10} - p$	$\cdots$	$\displaystyle \frac{1}{10} + p$	1

확률변수 $X$ 의 기대값이 $\displaystyle \mathrm{E} ( \mathit{X} ) = \frac{23}{4}$ 일 때, $\displaystyle \frac{1}{p}$ 의 값을 구하시오. (단, $\displaystyle 0 < p < \frac{1}{10}$ 이고, $n$ 은 자연수이다.) [4점]

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해설

$\displaystyle \left( \frac{1}{10} - p \right) + \left( \frac{1}{10} + p \right) + \left( \frac{1}{10} - p \right) + \cdots + \left( \frac{1}{10} + p \right) = 1$ 이므로 $\displaystyle \frac{2 n}{10} = 1$ 따라서 $n = 5$ 확률변수 $X$ 의 기대값이 $\displaystyle \frac{23}{4}$ 이므로 $\mathrm{E} ( \mathit{X} )$ $\displaystyle = 1 \left( \frac{1}{10} - p \right) + 2 \left( \frac{1}{10} + p \right) + \cdots + 10 \left( \frac{1}{10} + p \right)$ $\displaystyle = \frac{1}{10} ( 1 + 2 + \cdots + 10 ) + ( - p + 2 p - \cdots + 10 p )$ $\displaystyle = \frac{55}{10} + 5 p = \frac{23}{4}$ 따라서 $\displaystyle p = \frac{1}{20}$ 이므로 $\displaystyle \frac{1}{p} = 20$

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