미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

부호 교대 합 극한

문제

첫째항이 11이고 공차가 66인 등차수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 Sn=a1+a2+a3+⋯+anS _{n} = a _{1} + a _{2} + a _{3} + \cdots + a _{n} Tn=−a1+a2−a3+⋯+(−1)nanT _{n} = - a _{1} + a _{2} - a _{3} + \cdots + \left( - 1 \right) ^{n} a _{n} 이라 할 때, lim⁡n→∞a2nT2nS2n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{2 n} T _{2 n}}{S _{2 n}}}의 값을 구하시오. [4점]

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6

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해설

[출제의도] 등차수열의 성질과 합을 이용하여 극한값을 구한다. 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}의 일반항은 an=1+(n−1)×6a _{n} = 1 + ( n - 1 ) \times 6=6n−5= 6 n - 5이다. ∴ a2n=12n−5a _{2 n} = 12 n - 5 Sn=∑k=1nak\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k}=∑k=1n(6k−5)\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{n} ( 6 k - 5 )=6∑k=1nk−5n\displaystyle = 6 \sum\limits _{k = 1} ^{n} k - 5 n=6×n(n+1)2−5n\displaystyle = 6 \times \frac{n ( n + 1 )}{2} - 5 n =3n2−2n= 3 n ^{2} - 2 n ∴ S2n=3×(2n)2−2×(2n)S _{2 n} = 3 \times ( 2 n ) ^{2} - 2 \times ( 2 n )=12n2−4n= 12 n ^{2} - 4 n an+1−an=6a _{n + 1} - a _{n} = 6 (n≥1n \geq 1)이므로 T2n=−a1+a2−a3+⋯+(−1)2na2nT _{2 n} = - a _{1} + a _{2} - a _{3} + \cdots + \left( - 1 \right) ^{2 n} a _{2 n} =(−a1+a2)+(−a3+a4)+⋯+(−a2n−1+a2n)= \left( - a _{1} + a _{2} \right) + \left( - a _{3} + a _{4} \right) + \cdots + \left( - a _{2 n - 1} + a _{2 n} \right) =6+6+⋯+6= 6 + 6 + \cdots + 6 =6n= 6 n ∴lim⁡n→∞a2nT2nS2n\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{a _{2 n} T _{2 n}}{S _{2 n}}} =lim⁡n→∞(12n−5)×6n12n2−4n\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{\left( 12 n - 5 \right) \times 6 n}{12 n ^{2} - 4 n}} =lim⁡n→∞36n−156n−2\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{36 n - 15}{6 n - 2}} =lim⁡n→∞36−15n6−2n\displaystyle = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\frac{36 - \frac{15}{n}}{6 - \frac{2}{n}}} =366=6\displaystyle = \frac{36}{6} = 6

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#등차수열#수열의 극한

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