미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출기본 문제 (3점 중반)

부등식과 수열 극한

문제

수렴하는 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 an+2<3an+1<2an+1a _{n} + 2 < 3 a _{n + 1} < 2 a _{n} + 1 (n=1,2,3,⋯n = 1 , 2 , 3 , \cdots) 이 성립할 때, lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n}의 값은? [3점] ①13\displaystyle \frac{1}{3}②23\displaystyle \frac{2}{3}③11④43\displaystyle \frac{4}{3}⑤53\displaystyle \frac{5}{3}

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③

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해설

[출제의도] 수열의 극한의 대소 관계를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다. lim⁡n→∞an=α\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} = \alpha (α\alpha는 상수)로 놓으면 lim⁡n→∞an+1=α\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n + 1} = \alpha an+2<3an+1<2an+1a _{n} + 2 < 3 a _{n + 1} < 2 a _{n} + 1에서 lim⁡n→∞(an+2)≤lim⁡n→∞(3an+1)≤lim⁡n→∞(2an+1)\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} ( a _{n} + 2 ) \leq \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} ( 3 a _{n + 1} ) \leq \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} ( 2 a _{n} + 1 ), lim⁡n→∞an+2≤3lim⁡n→∞an+1≤2lim⁡n→∞an+1\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} + 2 \leq 3 \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n + 1} \leq 2 \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} a _{n} + 1 ∴ α+2≤3α≤2α+1\alpha + 2 \leq 3 \alpha \leq 2 \alpha + 1 α+2≤3α\alpha + 2 \leq 3 \alpha에서 α≥1\alpha \geq 1 … ㉠ 3α≤2α+13 \alpha \leq 2 \alpha + 1에서 α≤1\alpha \leq 1 … ㉡ ㉠, ㉡에서 α=1\alpha = 1

태그

#수열의극한#부등식

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