부등식과 극한 조건

[출제의도] 함수의 극한 이해하기 조건 (가)에서 부등식의 각 변을 $x ^{2}$으로 나누면 $\displaystyle \frac{2 x ^{2} - 5 x}{x ^{2}} \leq \frac{f \left( x \right)}{x ^{2}} \leq \frac{2 x ^{2} + 2}{x ^{2}}$ $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\frac{2 x ^{2} - 5 x}{x ^{2}}} = \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\frac{2 x ^{2} + 2}{x ^{2}}} = 2$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow \infty} {\frac{f \left( x \right)}{x ^{2}}} = 2$ $f \left( x \right)$는 최고차항의 계수가 $2$인 이차함수이다. 조건 (나)에서 $f \left( 1 \right) = 0$ $f \left( x \right) = 2 \left( x - 1 \right) \left( x + a \right)$라 하자. $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\frac{f \left( x \right)}{x ^{2} + 2 x - 3}}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 1} {\frac{2 \left( x - 1 \right) \left( x + a \right)}{\left( x - 1 \right) \left( x + 3 \right)}}$$\displaystyle = \frac{2 \left( 1 + a \right)}{4}$$\displaystyle = \frac{1}{4}$ $\displaystyle \therefore a = - \frac{1}{2}$, $\displaystyle f \left( x \right) = 2 \left( x - 1 \right) \left( x - \frac{1}{2} \right)$ 따라서 $f \left( 3 \right) = 10$