부등식 영역의 넓이

[출제의도] 연립부등식의 영역을 좌표평면에 나타내고 그 넓이를 구한다. 주어진 부등식의 영역을 좌표평면에 나타내면 다음 그림의 어두운 부분(경계선 포함)이다.

그림과 같이 원 $x ^{2} + y ^{2} = 4$와 직선 $\displaystyle y = \mathit{-} \sqrt{3} x$의 두 교점을 각각 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$라 하고, 원 $x ^{2} + y ^{2} = 4$와 직선 $\displaystyle y = \sqrt{3} x - 2 \sqrt{3}$의 교점을 $\mathrm{C}$라 하자. $\mathrm{\angle} AOC = 120 ^\circ$이므로 부채꼴 $\mathrm{AOC}$의 넓이는 $\displaystyle \pi \times 2 ^{2} \times \frac{120 ^\circ}{360 ^\circ} = \frac{4}{3} \pi$ 삼각형 $\mathrm{OBC}$는 정삼각형이므로 삼각형 $\mathrm{OBC}$의 넓이는 $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{4} \times 2 ^{2} = \sqrt{3}$ 따라서 구하는 영역의 넓이는 부채꼴 $\mathrm{AOC}$의 넓이와 삼각형 $\mathrm{OBC}$의 넓이의 합이므로 $\displaystyle \frac{4}{3} \pi + \sqrt{3}$이다.