공통수학2직선의 방정식수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

부등식 영역과 직선의 교점 길이

문제

좌표평면에서 부등식 $xy ( x ^{2} + y ^{2} - 1 ) ( x ^{2} - y + 2 ) > 0$ 의 영역을 $A$ 라 하고, $B = \{ ( x , y ) | kx + y = 0 \}$ 이라 하자. $A \cap B$ 가 나타내는 도형의 길이가 $2$ 가 되도록 하는 상수 $k$ 의 최댓값은? ① $\displaystyle \sqrt{2}$ ② $\displaystyle \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ ③ $\displaystyle 2 \sqrt{2}$ ④ $\displaystyle \frac{5 \sqrt{2}}{2}$ ⑤ $\displaystyle 3 \sqrt{2}$

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③

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해설

영역 $A$ 는 그림의 어두운 부분과 같다. (경계선 제외) 집합 $B$ 가 나타내는 도형은 원점을 지나며 기울기가 $- k$ 인 직선이다. $A \cap B$ 가 나타내는 도형의 길이가 $2$ 가 되기 위해서는 그림과 같이 $k$ 가 직선 $kx + y = 0$ 이 $y = x ^{2} + 2$ 에 접할 때의 값(양수)보다 같거나 작고 $0$ 보다 커야 한다. $k$ 가 직선 $kx + y = 0$ 이 $y = x ^{2} + 2$ 에 접할 때 방정식 $x ^{2} + kx + 2 = 0$ 은 중근을 가지므로 $\displaystyle k = 2 \sqrt{2}$ 이어야 한다. (∵ $k > 0$ ) 따라서 $k$ 의 최댓값은 $\displaystyle 2 \sqrt{2}$

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