부등식 조건 삼차함수의 최솟값

(가)에 의하여 $f ( x ) = x ^{3} + ax ^{2} + bx + c ( a , b , c \text{는} \text{상수} )$라 하면 $f ( 0 ) = c$이므로 $f' ( 0 ) = c$ ( $\because$(나) )이다 $f' ( x ) = 3 x ^{2} + 2 ax + b$이므로 $f' ( 0 ) = b = c$ $\therefore f ( x ) = x ^{3} + ax ^{2} + bx + b$ 조건 (다)에서 $f ( x ) - f' ( x ) \geq 0 ( x \geq - 1 )$이므로 $f ( x ) - f' ( x ) = x ^{3} + ( a - 3 ) x ^{2} + ( b - 2 a ) x \geq 0 ( x \geq - 1 )$ $g ( x ) = f ( x ) - f' ( x )$라 하면 조건(나)에 의하여 $g ( 0 ) = f ( 0 ) - f' ( 0 ) = 0$ 따라서, $x \geq - 1$에서 $g ( x ) \geq 0$ 이려면 함수 $y = g ( x )$의 그래프가 그림과 같아야 하므로 $g' ( 0 ) = 0 , g ( - 1 ) \geq 0$

$g ( x ) = x ^{3} + ( a - 3 ) x ^{2} + ( b - 2 a ) x$에서 $g' ( x ) = 3 x ^{2} + 2 ( a - 3 ) x + b - 2 a$이므로 $g' ( 0 ) = b - 2 a = 0 \therefore b = 2 a \cdots ( \text{ㄱ} )$ 또 $g ( - 1 ) = - 1 + ( a - 3 ) - ( b - 2 a )$ $= 3 a - b - 4$ $= 3 a - 2 a - 4 ( \because ( \text{ㄱ} ) )$ $= a - 4 \geq 0$ $\therefore a \geq 4 \cdots ( \text{ㄴ} )$ $f ( x ) = x ^{3} + ax ^{2} + bx + b$에서 $f ( 2 ) = 8 + 4 a + 2 b + b = 8 + 4 a + 3 b$ $= 8 + 4 a + 3 \times 2 a ( \because ( \text{ㄱ} ) )$ $= 8 + 10 a \geq 8 + 10 \times 4 ( \because ( \text{ㄴ} ) )$ $= 48$ 이므로 $f ( 2 )$의 최솟값은 48이다