확률과 통계이항정리수능 기출기본 문제 (3점 중반)

부등식 증명 빈칸

문제

다음은 n≥2n \geq 2인 자연수 nn에 대하여 부등식 2<(1+1n)n<3\displaystyle 2 < \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n} < 3이 성립함을 증명하는 과정이다. <증명> (i) (1+1n)n=1+nC11n+nC2(1n)2+⋯+nCn(1n)n\displaystyle \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n} = 1 + _{n} C _{1} \frac{1}{n} + _{n} C _{2} \left( \frac{1}{n} \right) ^{2} + \cdots + _{n} C _{n} \left( \frac{1}{n} \right) ^{n} ≥1+1+nC2(1n)2\displaystyle \geq 1 + 1 + _{n} C _{2} \left( \frac{1}{n} \right) ^{2} =2+□(가)>2= 2 + \square {( \text{가} )} > 2 (∵n≥2n \geq 2) (ii) (1+1n)n=1+nC11n+nC2(1n)2+⋯+nCn(1n)n\displaystyle \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n} = 1 + _{n} C _{1} \frac{1}{n} + _{n} C _{2} \left( \frac{1}{n} \right) ^{2} + \cdots + _{n} C _{n} \left( \frac{1}{n} \right) ^{n} =1+1+12!(□)+13!(□(나))+⋯+1n!(□)\displaystyle = 1 + 1 + \frac{1}{2 !} ( \square {} ) + \frac{1}{3 !} ( \square {( \text{나} )} ) + \cdots + \frac{1}{n !} ( \square {} ) <1+1+12!+13!+⋯+1n!\displaystyle < 1 + 1 + \frac{1}{2 !} + \frac{1}{3 !} + \cdots + \frac{1}{n !} 그런데 k!=1⋅2⋅3⋅⋯⋅k≥2k−1{k !} = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \cdots \cdot k \geq 2 ^{k-1}이므로 1k!≤12k−1\displaystyle \frac{1}{k !} \leq \frac{1}{2 ^{k-1}} ∴ (1+1n)n<1+120+121+⋯+12n−1\displaystyle \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n} < 1 + \frac{1}{2 ^{0}} + \frac{1}{2 ^{1}} + \cdots + \frac{1}{2 ^{n-1}} =3−□(다)<3= 3 - \square {( \text{다} )} < 3 (i), (ii)에 의하여 n≥2n \geq 2인 자연수 nn에 대하여 부등식 2<(1+1n)n<3\displaystyle 2 < \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n} < 3이 성립한다.

위의 증명과정에서 (가), (나), (다)에 알맞은 것을 차례로 나열하면? [3점] ①n−12n\displaystyle \frac{n - 1}{2 n}, (1−1n)(1−2n)\displaystyle \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \left( 1 - \frac{2}{n} \right), (12)n\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right) ^{n}②n+12n\displaystyle \frac{n + 1}{2 n}, (1−1n)(1−2n)\displaystyle \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \left( 1 - \frac{2}{n} \right), (12)n\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right) ^{n}③n−12n\displaystyle \frac{n - 1}{2 n}, (1−2n)(1−3n)\displaystyle \left( 1 - \frac{2}{n} \right) \left( 1 - \frac{3}{n} \right), (12)n\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right) ^{n}④n+12n\displaystyle \frac{n + 1}{2 n}, (1−2n)(1−3n)\displaystyle \left( 1 - \frac{2}{n} \right) \left( 1 - \frac{3}{n} \right), (12)n−1\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1}⑤n−12n\displaystyle \frac{n - 1}{2 n}, (1−1n)(1−2n)\displaystyle \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \left( 1 - \frac{2}{n} \right), (12)n−1\displaystyle \left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1}

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⑤

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해설

[출제의도] 이항정리를 이용하여 부등식을 증명할 수 있다. (i) (1+1n)n\displaystyle \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n} =1+nC11n+nC2(1n)2+⋯+nCn(1n)n\displaystyle = 1 + _{n} C _{1} \frac{1}{n} + _{n} C _{2} \left( \frac{1}{n} \right) ^{2} + \cdots + _{n} C _{n} \left( \frac{1}{n} \right) ^{n} ≥1+1+nC2(1n)2\displaystyle \geq 1 + 1 + _{n} C _{2} \left( \frac{1}{n} \right) ^{2} =2+□n−12n>2\displaystyle = 2 + \square {\frac{n - 1}{2 n}} > 2 (∵n≥2n \geq 2) (ii) (1+1n)n\displaystyle \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n} =1+nC11n+nC2(1n)2+⋯+nCn(1n)n\displaystyle = 1 + _{n} C _{1} \frac{1}{n} + _{n} C _{2} \left( \frac{1}{n} \right) ^{2} + \cdots + _{n} C _{n} \left( \frac{1}{n} \right) ^{n} =1+1+12!(1−1n)+13!□(1−1n)(1−2n)\displaystyle = 1 + 1 + \frac{1}{2 !} \left( 1 - \frac{1}{n} \right) + \frac{1}{3 !} \square {\left( 1 - \frac{1}{n} \right) \left( 1 - \frac{2}{n} \right)} +⋯+1n!(1−1n)⋯(1−n−1n)\displaystyle + \cdots + \frac{1}{n !} \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \cdots \left( 1 - \frac{n - 1}{n} \right) <1+1+12!+13!+⋯+1n!\displaystyle < 1 + 1 + \frac{1}{2 !} + \frac{1}{3 !} + \cdots + \frac{1}{n !} k!=1⋅2⋅⋯⋅k≥2k−1{k !} = 1 \cdot 2 \cdot \cdots \cdot k \geq 2 ^{k-1}이므로1k!≤12k−1\displaystyle \frac{1}{k !} \leq \frac{1}{2 ^{k-1}} (1+1n)n<1+120+121+⋯+12n−1\displaystyle \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n} < 1 + \frac{1}{2 ^{0}} + \frac{1}{2 ^{1}} + \cdots + \frac{1}{2 ^{n-1}} =3−□(12)n−1<3\displaystyle = 3 - \square {\left( \frac{1}{2} \right) ^{n - 1}} < 3 (i), (ii)에 의하여 n≥2n \geq 2인 자연수 nn에 대하여 부등식 2<(1+1n)n<3\displaystyle 2 < \left( 1 + \frac{1}{n} \right) ^{n} < 3이 성립한다.

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