미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

부채꼴과 내접원 극한

문제

그림과 같이 반지름의 길이가 11이고 중심각의 크기가 π2\displaystyle \frac{\pi}{2}인 부채꼴 OAB\mathrm{OAB}가 있다. 호 AB\mathrm{AB} 위의 점 P\mathrm{P}에서 선분 OB\mathrm{OB}에 내린 수선의 발을 Q\mathrm{Q}라 하고 ∠POA=θ\angle \mathrm{POA} = \theta라 하자. 부채꼴 OAP\mathrm{OAP}의 넓이를 f(θ)f ( \theta ), 삼각형 OPQ\mathrm{OPQ}에 내접하는 원의 넓이를 g(θ)g ( \theta )라 할 때, lim⁡θ→+0g(θ)θ⋅f(θ)\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {} \frac{g ( \theta )}{\theta \cdot f ( \theta )}의 값은? (\displaystyle \left( \begin{array}{l} \begin{matrix} {} ^{} \\ {} ^{} \end{matrix} \end{array} \right.단, 0<θ<π2\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2})\displaystyle \begin{matrix} {} ^{} \\ {} ^{} \end{matrix} ) [4점]

θ\theta

①π4\displaystyle \frac{\pi}{4}②π2\displaystyle \frac{\pi}{2}③34π\displaystyle \frac{3}{4} \pi④π\pi⑤54π\displaystyle \frac{5}{4} \pi

정답 보기
②

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 함수의 극한을 활용하여 문제해결하기 부채꼴 OAP\mathrm{OAP}의 넓이 f(θ)=12⋅12⋅θ=12θ\displaystyle f ( \theta ) = \frac{1}{2} \cdot 1 ^{2} \cdot \theta = \frac{1}{2} \theta 삼각형 OPQ\mathrm{OPQ}에 내접하는 원의 반지름의 길이를 rr라 하면 12×(sin⁡θ+cos⁡θ+1)×r=12×sin⁡θ×cos⁡θ\displaystyle \frac{1}{2} \times ( \sin \theta + \cos \theta + 1 ) \times r = \frac{1}{2} \times \sin \theta \times \cos \thetar=sin⁡θcos⁡θsin⁡θ+cos⁡θ+1\displaystyle r = \frac{\sin \theta \cos \theta}{\sin \theta + \cos \theta + 1} 이므로 삼각형 OPQ\mathrm{OPQ}에 내접하는 원의 넓이 g(θ)=sin⁡2θcos⁡2θ(sin⁡θ+cos⁡θ+1)2π\displaystyle g ( \theta ) = \frac{\sin ^{2} \theta \cos ^{2} \theta}{( \sin \theta + \cos \theta + 1 ) ^{2}} \pi이다. 따라서 lim⁡θ→+0g(θ)θ⋅f(θ)=lim⁡θ→+02πsin⁡2θcos⁡2θθ2(sin⁡θ+cos⁡θ+1)2\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {} \frac{g ( \theta )}{\theta \cdot f ( \theta )} = \lim\limits _{\theta \rightarrow + 0} {\frac{2 \pi \sin ^{2} \theta \cos ^{2} \theta}{\theta ^{2} ( \sin \theta + \cos \theta + 1 ) ^{2}}}=π2\displaystyle = \frac{\pi}{2}

태그

#삼각함수의 극한#내접원

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 여러 가지 미분법 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로