대수삼각함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

부채꼴과 내접 반원

문제

그림과 같이 반지름의 길이가 44이고 중심각의 크기가 π6\displaystyle \frac{\pi}{6}인 부채꼴 OAB\mathrm{OAB}가 있다. 선분 OA\mathrm{OA} 위의 점 P\mathrm{P}에 대하여 선분 PA\mathrm{PA}를 지름으로 하고 선분 OB\mathrm{OB}에 접하는 반원을 CC라 할 때, 부채꼴 OAB\mathrm{OAB}의 넓이를 S1S _{1}, 반원 CC의 넓이를 S2S _{2}라 하자. S1−S2S _{1} - S _{2}의 값은? [4점]

π6\displaystyle \frac{\pi}{6}

①π9\displaystyle \frac{\pi}{9}②29π\displaystyle \frac{2}{9} \pi③π3\displaystyle \frac{\pi}{3}④49π\displaystyle \frac{4}{9} \pi⑤59π\displaystyle \frac{5}{9} \pi

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④

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해설

[출제의도] 삼각함수를 이용하여 도형의 넓이 문제해결하기

π6\displaystyle \frac{\pi}{6}

반원 CC의 중심을 Q\mathrm{Q}, 반지름의 길이를 rr라 하면 OA‾=4\displaystyle \mathrm{\overline{OA}} = 4이므로 OQ‾=4−r\displaystyle \mathrm{\overline{OQ}} = 4 - \mathit{r}이다. 선분 OB\mathrm{OB}와 반원 CC의 접점을 H\mathrm{H}라 하면 QH‾=r\displaystyle \mathrm{\overline{QH}} = \mathit{r}이다. 부채꼴의 중심각의 크기가 π6\displaystyle \frac{\pi}{6}이므로 sin⁡π6=r4−r=12\displaystyle \sin \frac{\pi}{6} = \frac{r}{4 - r} = \frac{1}{2}에서 r=43\displaystyle r = \frac{4}{3}이다. 따라서 S1=12×42×π6=43π\displaystyle S _{1} = \frac{1}{2} \times 4 ^{2} \times \frac{\pi}{6} = \frac{4}{3} \pi, S2=12×π×(43)2=89π\displaystyle S _{2} = \frac{1}{2} \times \pi \times \left( \frac{4}{3} \right) ^{2} = \frac{8}{9} \pi이므로 S1−S2=49π\displaystyle S _{1} - S _{2} = \frac{4}{9} \pi이다.

태그

#부채꼴의 넓이#삼각비

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