부채꼴에 끼인 직사각형

[출제의도] 피타고라스 정리를 이용하여 직사각형의 넓이를 구한다.

그림과 같이 점 $\mathrm{M}$에서 변 $\mathrm{AD}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{N}$이라 하자. 조건에 의해 $\displaystyle {\overline{\mathrm{EG}}} : {\overline{\mathrm{GH}}} = 1 : 2$이므로 점 $\mathrm{N}$은 변 $\mathrm{EF}$의 중점이 되고 선분 $\mathrm{MN}$은 사각형 $\mathrm{EGHF}$를 두 개의 합동인 정사각형으로 나눈다. $\displaystyle {\overline{\mathrm{AB}}} = 2$이므로 사각형 $\mathrm{ABMN}$은 한 변의 길이가 $2$인 정사각형이다. 점 $\mathrm{G}$는 이 정사각형의 대각선 $\mathrm{BN}$ 위에 있고, 직각삼각형 $\mathrm{BMN}$에서 피타고라스 정리에 의해 $\displaystyle \mathrm{\overline{BN}} ^{2} = \mathrm{\overline{BM}} ^{2} + \mathrm{\overline{MN}} ^{2}$ $\displaystyle \mathrm{\overline{BN}} ^{2} = 2 ^{2} + 2 ^{2}$$= 8$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{BN}}}$$\displaystyle = \sqrt{8}$$\displaystyle = 2 \sqrt{2}$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{GN}}}$$\displaystyle = {\overline{\mathrm{BN}}} - {\overline{\mathrm{BG}}}$$\displaystyle = 2 \sqrt{2} - 2$ 한편 사각형 $\mathrm{ABCD}$와 사각형 $\mathrm{EGHF}$는 각각 가로와 세로의 길이의 비가 $2 : 1$인 직사각형이므로 서로 닮은 도형이다. 두 사각형 $\mathrm{ABCD}$와 $\mathrm{EGHF}$의 닮음비는 선분 $\mathrm{BN}$과 선분 $\mathrm{GN}$의 길이의 비와 같으므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{BN}}} : {\overline{\mathrm{GN}}}$$\displaystyle = 2 \sqrt{2} \mathit{:} 2 \left( \sqrt{2} - 1 \right)$$\displaystyle = \sqrt{2} \mathit{:} \left( \sqrt{2} - 1 \right)$ 따라서 넓이의 비는 $\displaystyle \left( \sqrt{2} \right) ^{2} : \left( \sqrt{2} - 1 \right) ^{2}$$\displaystyle = 2 : \left( 3 - 2 \sqrt{2} \right)$$\displaystyle = 1 : \frac{3 - 2 \sqrt{2}}{2}$ 조건에서 사각형 $\mathrm{ABCD}$의 넓이가 $8$이므로 구하는 사각형 $\mathrm{EGHF}$의 넓이는 $\displaystyle 8 \times \frac{3 - 2 \sqrt{2}}{2} = 12 - 8 \sqrt{2}$