미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

부채꼴 영역 넓이 급수

문제

그림은 자연수 nn에 대하여 연립부등식 {y≥(32)nx2+y2≤(32)2n−2\displaystyle {\begin{cases} y \geq \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{n} & {} _{{} _{{} _{}}} \\ x ^{2} + y ^{2} \leq \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{2 n - 2 ^{{} ^{{} ^{}}}} & \end{cases}} 의 영역을 좌표평면 위에 나타낸 것이다. 이 영역의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, ∑n=1∞Sn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n}의 값은? [4점]

y=(32)n\displaystyle y = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{n} x2+y2=(32)2n−2\displaystyle x ^{2} + y ^{2} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{2 n - 2}

①13π−32\displaystyle \frac{1}{3} \pi - \frac{\sqrt{3}}{2}②23π−3\displaystyle \frac{2}{3} \pi - \sqrt{3}③13π−33\displaystyle \frac{1}{3} \pi - \frac{\sqrt{3}}{3}④23π−32\displaystyle \frac{2}{3} \pi - \frac{\sqrt{3}}{2}⑤23π−33\displaystyle \frac{2}{3} \pi - \frac{\sqrt{3}}{3}

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②

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해설

[출제의도] 무한급수에 관한 문제해결하기

y=(32)n\displaystyle y = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{n} x2+y2=(32)2n−2\displaystyle x ^{2} + y ^{2} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{2 n - 2} Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}} Qn\mathrm{Q} _{\mathit{n}}

원 x2+y2=(32)2n−2\displaystyle x ^{2} + y ^{2} = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{2 n - 2}과 직선 y=(32)n\displaystyle y = \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{n}의 교점을 Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}}, Qn\mathrm{Q} _{\mathit{n}}이라 하면, Pn(−12(32)n−1,(32)n)\displaystyle \mathrm{P} _{\mathit{n}} \mathit{\left( - \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{n - 1} , \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{n} \right)} Qn(12(32)n−1,(32)n)\displaystyle \mathrm{Q} _{\mathit{n}} \mathit{\left( \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{n - 1} , \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{n} \right)} Sn={12⋅π3(32)2n−2}−{34(32)2n−2}=(π6−34)(32)2n−2\displaystyle \begin{aligned} S _{n} & = \left\{ \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{3} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{2 n - 2} \right\} - \left\{ \frac{\sqrt{3}}{4} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{2 n - 2} \right\} \\ & = \left( \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4} \right) \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) ^{2 n - 2} \end{aligned} ∴{Sn}\therefore \left\{ S _{n} \right\}은 첫째항이 π6−34\displaystyle \frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}, 공비가 34\displaystyle \frac{3}{4}인 등비수열이다. 따라서 ∑n=1∞Sn=π6−341−34=23π−3\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{\mathit{n}} = \frac{\frac{\pi}{6} - \frac{\sqrt{3}}{4}}{1 - \frac{3}{4}} = \frac{2}{3} \pi - \sqrt{3}

태그

#무한등비급수#활꼴 넓이

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