미적분Ⅱ도함수의 활용수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

부채꼴 위 점 변화율

문제

좌표평면 위에 그림과 같이 중심각의 크기가 π2\displaystyle \frac{\pi}{2}이고 반지름의 길이가 11인 부채꼴 OAB\mathrm{OAB}가 있다. 점 P\mathrm{P}가 점 A(1,0)\mathrm{A} \left( 1 , 0 \right)에서 출발하여 호 AB\mathrm{AB} 위를 시계 반대 방향으로 매초 11의 일정한 속력으로 움직일 때, xx축 위의 점 Q\mathrm{Q}는 PQ‾=5\displaystyle \overline{\mathrm{PQ}} = \sqrt{5}를 만족시키면서 xx축 위를 움직인다.

∠POA=π4\displaystyle \mathrm{\angle} POA = \frac{\pi}{4}가 되는 순간, 점 Q\mathrm{Q}의 xx좌표의 시간(초)에 대한 변화율을 rr라 할 때, 9r29 r ^{2}의 값을 구하시오. [4점]

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8

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해설

점 P\mathrm{P}는 호 AB\mathrm{AB} 위의 점이고 시각 tt일 때 ∠POA=t\angle \mathrm{POA} = \mathit{t} (0≤t≤π2)\displaystyle \left( 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2} \right)이므로 점 P\mathrm{P}의 좌표는 (cos⁡t,sin⁡t)\mathit{\left( \cos t , \sin t \right)}이다. 점 Q(x,0)\mathrm{Q} ( \mathit{x} , 0 )의 시각 tt에서의 위치는 x=cos⁡t+5−sin⁡2t\displaystyle x = \cos t + \sqrt{5 - \sin ^{2} t}, y=0y = 0 점 Q\mathrm{Q}의 xx좌표의 시간에 대한 변화율 dxdt=−sin⁡t−sin⁡tcos⁡t5−sin⁡2t\displaystyle \frac{dx}{dt} = - \sin t - \frac{\sin t \cos t}{\sqrt{5 - \sin ^{2} t}} ∴\therefore ∠POA=π4\displaystyle \angle \mathrm{POA} = \frac{\pi}{4}가 되는 순간, 점 Q\mathrm{Q}의 xx좌표의시간에 대한 변화율 r=−22−125−12=−22−26=−232\displaystyle r = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\frac{1}{2}}{\sqrt{5 - \frac{1}{2}}} = - \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{6} = - \frac{2}{3} \sqrt{2} 따라서 9r2=89 r ^{2} = 8

태그

#속도와 변화율#삼각함수 미분

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