부채꼴 속 내접원

[출제의도] 삼각비를 이용하여 원의 반지름의 길이 구하는 문제를 해결한다.

세 선분 $\mathrm{OA}$, $\mathrm{OB}$, $\mathrm{AP}$에 모두 접하는 원의 중심을 점 $\mathrm{C}$, 점 $\mathrm{C}$에서 선분 $\mathrm{OA}$에 내린 수선의 발을 $\mathrm{H}$라 하자. 점 $\mathrm{P}$는 호 $\mathrm{AB}$를 삼등분한 점 중 점 $\mathrm{B}$에 가까운 점이므로 $\angle \mathrm{AOP} = 60 ^\circ$이고, $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA}}} = {\overline{\mathrm{OP}}}$이므로 삼각형 $\mathrm{OAP}$는 정삼각형이다. 그러므로 $\angle \mathrm{OAP} = 60 ^\circ$ 선분 $\mathrm{AO}$와 선분 $\mathrm{AP}$는 점 $\mathrm{A}$에서 중심이 $\mathrm{C}$인 원에 그은 접선이므로 선분 $\mathrm{AC}$는 $\angle \mathrm{OAP}$의 이등분선이다. 그러므로 $\angle \mathrm{OAC}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times \angle \mathrm{OAP}$$= 30 ^\circ$ 한편 원의 반지름의 길이를 $x$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OH}}} = {\overline{\mathrm{CH}}} = x$ $\displaystyle {\overline{\mathrm{AH}} = {\overline{\mathrm{OA}}} - {\overline{\mathrm{OH}}} = 4 - x}$ 삼각형 $\mathrm{CHA}$에서 $\tan \left( \angle \mathrm{HAC} \right)$$= \tan 30 ^\circ$$\displaystyle = \frac{x}{4 - x}$ $\displaystyle \tan 30 ^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3}$이므로 $\displaystyle \frac{x}{4 - x} = {\frac{\sqrt{3}}{3}}$ $\displaystyle 3 x = 4 \sqrt{3} - \sqrt{3} x$ $\displaystyle ( 3 + \sqrt{3} ) x = 4 \sqrt{3}$ 따라서 $x$$\displaystyle = \frac{4 \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$$\displaystyle = \frac{4 \sqrt{3} ( 3 - \sqrt{3} )}{( 3 + \sqrt{3} ) ( 3 - \sqrt{3} )}$ $\displaystyle = \frac{4 \sqrt{3} ( 3 - \sqrt{3} )}{9 - 3}$$\displaystyle = \frac{12 \sqrt{3} - 12}{6}$$\displaystyle = 2 \sqrt{3} - 2$ [다른 풀이] 선분 $\mathrm{OB}$의 연장선과 선분 $\mathrm{AP}$의 연장선이 만나는 점을 $\mathrm{D}$라 하면 구하는 원은 삼각형 $\mathrm{DOA}$의 내접원이다.

위의 풀이에서 $\angle \mathrm{OAP} = 60 ^\circ$이므로 삼각형 $\mathrm{D} OA$에서 $\angle \mathrm{OAD}$$= \angle \mathrm{OAP}$$= 60 ^\circ$, $\angle \mathrm{DOA} = 90 ^\circ$ 그러므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{DA}}} : {\overline{\mathrm{AO}}} : {\overline{\mathrm{OD}}}$$\displaystyle = 2 : 1 : \sqrt{3}$ $\displaystyle \overline{\mathrm{AO}} = 4$이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{DA}} = 8$, $\displaystyle \overline{\mathrm{OD}} = 4 \sqrt{3}$ $\triangle \mathrm{DOA}$$\displaystyle = {\frac{1}{2}} \times 4 \times 4 \sqrt{3}$$\displaystyle = 8 \sqrt{3}$ 구하는 원의 중심을 $\mathrm{C}$, 반지름의 길이를 $x$라 하면 $\triangle \mathrm{COA}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 4 \times \mathit{x}$$= 2 x$ $\triangle \mathrm{CDO}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 4 \sqrt{3} \times \mathit{x}$$\displaystyle = 2 \sqrt{3} x$ $\triangle \mathrm{CAD}$$\displaystyle = \frac{1}{2} \times 8 \times \mathit{x}$$= 4 x$ 이때, $\triangle \mathrm{COA} + \triangle \mathrm{CDO} + \triangle \mathrm{CAD}$$= \triangle \mathrm{DOA}$이므로 $\displaystyle 2 x + 2 \sqrt{3} x + 4 x$$\displaystyle = 8 \sqrt{3}$ $\displaystyle ( 6 + 2 \sqrt{3} ) x = 8 \sqrt{3}$ $\displaystyle ( 3 + \sqrt{3} ) x = 4 \sqrt{3}$ 따라서 $x$$\displaystyle = \frac{4 \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$$\displaystyle = \frac{4 \sqrt{3} ( 3 - \sqrt{3} )}{( 3 + \sqrt{3} ) ( 3 - \sqrt{3} )}$ $\displaystyle = \frac{4 \sqrt{3} ( 3 - \sqrt{3} )}{9 - 3}$$\displaystyle = \frac{12 \sqrt{3} - 12}{6}$$\displaystyle = 2 \sqrt{3} - 2$