부채꼴 넓이 급수

그림과 같이 반지름의 길이가 $1$이고 중심이 $\mathrm{O} _{1} , \mathrm{O} _{2} , \mathrm{O} _{3} , \cdots$ 인 원들이 있다. 모든 원들의 중심은 한 직선 위에 있고, $\displaystyle \overline{\mathrm{O} _{n} \mathrm{O} _{n+1}} = 1 ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )$이다. 두 원 $\mathrm{O} _{1}$, $\mathrm{O} _{2}$가 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{P} _{1}$, $\mathrm{Q} _{1}$이라 하고, 부채꼴 $\mathrm{O} _{2} \mathrm{P} _{1} \mathrm{Q} _{1}$의 넓이를 $S _{1}$이라 하자. 두 점 $\mathrm{P} _{1}$, $\mathrm{Q} _{1}$에서 원 $\mathrm{O} _{3}$의 중심과 연결한 선분이 원 $\mathrm{O} _{3}$과 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{P} _{2}$, $\mathrm{Q} _{2}$라 하고, 부채꼴 $\mathrm{O} _{3} \mathrm{P} _{2} \mathrm{Q} _{2}$의 넓이를 $S _{2}$라 하자. 두 점 $\mathrm{P} _{2}$, $\mathrm{Q} _{2}$에서 원 $\mathrm{O} _{4}$의 중심과 연결한 선분이 원 $\mathrm{O} _{4}$와 만나는 두 점을 각각 $\mathrm{P} _{3}$, $\mathrm{Q} _{3}$이라 하고, 부채꼴 $\mathrm{O} _{4} \mathrm{P} _{3} \mathrm{Q} _{3}$의 넓이를 $S _{3}$이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 부채꼴 $\mathrm{O} _{n+1} \mathrm{P} _{n} \mathrm{Q} _{n}$의 넓이를 $S _{n}$이라 할 때,$\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n}$의 값은? [4점] $\mathrm{O} _{4}$$\mathrm{O} _{3}$$S _{2}$$\mathrm{O} _{2}$$S _{1}$

①$\displaystyle \frac{\pi}{2}$②$\displaystyle \frac{2}{3} \pi$③$\displaystyle \frac{5}{6} \pi$④$\pi$⑤$\displaystyle \frac{7}{6} \pi$