확률과 통계확률분포수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

부채꼴 넓이 차 기댓값

문제

[13-14] 그림과 같이 중심이 $O$ , 반지름의 길이가 1이고 중심각의 크기가 $\displaystyle \frac{\pi}{2}$ 인 부채꼴 $OAB$ 가 있다. 자연수 $n$ 에 대하여 호 $AB$ 를 $2 n$ 등분한 각 분점(양 끝점도 포함)을 차례로 $P _{0} ( = A ) , P _{1} , P _{2} , \cdots , P _{2 n - 1} , P _{2 n} ( = B )$ 라 하자. 13번과 14번의 두 물음에 답하시오

$n = 3$ 일 때, 점 $P _{1} , P _{2} , P _{3} , P _{4} , P _{5}$ 중에서 임의로 선택한 한 개의 점을 $P$ 라 하자. 부채꼴 $OPA$ 의 넓이와 부채꼴 $OPB$ 의 넓이의 차를 확률변수 $X$ 라 할 때, $E ( X )$ 의 값은? [4점] ① $\displaystyle \frac{\pi}{11}$ ② $\displaystyle \frac{\pi}{10}$ ③ $\displaystyle \frac{\pi}{9}$ ④ $\displaystyle \frac{\pi}{8}$ ⑤ $\displaystyle \frac{\pi}{7}$

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②

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해설

부채꼴 $\mathrm{OPA}$ 의 넓이와 부채꼴 $\mathrm{OPB}$ 의 넓이의 차가 확률변수 $X$ 이므로 $\mathrm{P} _{3}$ 를 선택할 때 넓이의 차는 $0$ $\mathrm{P} _{1}$ 또는 $P _{5}$ 를 선택할 때 넓이의 차는 $\displaystyle \frac{\pi}{12}$ $\mathrm{P} _{2}$ 또는 $\mathrm{P} _{4}$ 를 선택할 때 넓이의 차는 $\displaystyle \frac{\pi}{6}$ 확률분포표로 나타내면 다음과 같다.

$X$	$0$	$\displaystyle \frac{\pi}{12}$	$\displaystyle \frac{\pi}{6}$	합계
$P ( X )$	$\displaystyle \frac{1}{5}$	$\displaystyle \frac{2}{5}$	$\displaystyle \frac{2}{5}$	$1$

따라서 $\displaystyle E ( X ) = 0 \times \frac{1}{5} + \frac{\pi}{12} \times \frac{2}{5} + \frac{\pi}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{\pi}{10}$ 이다.

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