부채꼴 내접원 둘레 극한

그림에서 삼각형 $OAB$ 넓이는 $\displaystyle \triangle OAB = \frac{1}{2} r ^{2} \sin \theta$ 한편 삼각형 $OAB$의 내접원의 반지름의 길이를 $a$라 하면 $\displaystyle \triangle OAB = \frac{1}{2} ra + \frac{1}{2} ra + \frac{1}{2} a \times \overline{AB}$ 이 때 $\displaystyle \overline{AB} = 2 r \sin \frac{\theta}{2}$ 이므로

$\displaystyle \frac{1}{2} r ^{2} \sin \theta = ar + ar \sin \frac{\theta}{2}$ $\displaystyle \therefore a = \frac{\frac{1}{2} r \sin \theta}{1 + \sin \frac{\theta}{2}}$ 따라서$\displaystyle l _{1} = r \theta , l _{2} = \frac{\pi r \sin \theta}{1 + \sin \frac{\theta}{2}}$이므로 $\displaystyle \lim\limits _{\theta \rightarrow 0} \frac{l _{2}}{l _{1}} = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0} \frac{1}{r \theta} \times \frac{\pi r \sin \theta}{1 + \sin \frac{\theta}{2}}$$\displaystyle = \lim\limits _{\theta \rightarrow 0} \frac{\sin \theta}{\theta} \times \frac{\pi}{1 + \sin \frac{\theta}{2}}$ $= 1 \times \pi = \pi$