부채꼴 무한급수

[출제의도] 무한급수를 활용하여 추론하기 부채꼴 $\mathrm{OAB}$에서 원 $O _{1}$의 중심을 $\mathrm{O} _{1}$이라 하자.

$\displaystyle \overline{\mathrm{OA} _{1}} = \overline{\mathrm{OB} _{1}}$이고 $\displaystyle \angle {\mathrm{AOB}} = \frac{\pi}{3}$이므로 삼각형 $\mathrm{OA} _{1} B _{1}$은 정삼각형이다. 직선 $\mathrm{OC} _{1}$은 점 $\mathrm{O} _{1}$을 지나므로 $\displaystyle \angle \mathrm{O} _{1} OA _{1} \mathit{=} \frac{\pi}{6}$이다. 원 $O _{1}$의 반지름의 길이를 $a$라 하면 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA} _{1}}} = \sqrt{3} a$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{OO} _{1}}} = 2 a$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{O} _{1} C _{1}}} = a$이므로 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OC} _{1}}} = 3 a = 6$, $a = 2$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA} _{1}}} = 2 \sqrt{3}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{1} C _{1}}} = {\overline{\mathrm{B} _{1} C _{1}}} = {\overline{\mathrm{B} _{1} A _{1}}} = 2 \sqrt{3}$ 이다. 모양의 도형 $\mathrm{A} _{1} C _{1} B _{1}$의 넓이는 두 정삼각형 $\mathrm{OA} _{1} B _{1}$, $\mathrm{A} _{1} C _{1} B _{1}$의 넓이의 합에서 부채꼴 $\mathrm{OA} _{1} B _{1}$의 넓이를 뺀 것과 같으므로 $\displaystyle \therefore S _{1} = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{4} \times \left( 2 \sqrt{3} \right) ^{2} - \frac{1}{2} \times \left( 2 \sqrt{3} \right) ^{2} \times \frac{\pi}{3}$ $\displaystyle = 6 \sqrt{3} - 2 \pi$ 부채꼴 $\mathrm{OA} _{\mathit{n} - 1} B _{\mathit{n} - 1}$에 내접하는 원 $O _{n}$이 두 선분 $\mathrm{OA} _{\mathit{n} - 1}$, $\mathrm{OB} _{\mathit{n} - 1}$, 호 $\mathrm{A} _{\mathit{n} - 1} B _{\mathit{n} - 1}$과 만나는 점을 각각 $\mathrm{A} _{\mathit{n}}$, $\mathrm{B} _{\mathit{n}}$, $\mathrm{C} _{\mathit{n}}$이라 하자. (단, $\mathrm{A} _{0} = A$, $\mathrm{B} _{0} = B$이다.)

$r _{\mathit{n}}$ $r _{\mathit{n} \mathrm{+} 1}$

모양의 도형 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}}$과 도형 $\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} C _{\mathit{n} + 1} B _{\mathit{n} + 1}$에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}}} = r _{n}$, $\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} C _{\mathit{n} + 1}}} = r _{n + 1}$이라 하자. $\displaystyle {\overline{\mathrm{OC} _{\mathit{n} + 1}}} = \overline{\mathrm{OA} _{\mathit{n}}} = r _{n}$이고 $\displaystyle {\overline{\mathrm{OA} _{\mathit{n} + 1}}} = r _{\mathit{n} + 1}$이므로 삼각형 $\mathrm{OA} _{\mathit{n} + 1} C _{\mathit{n} + 1}$에서 $\displaystyle \angle \mathrm{OA} _{\mathit{n} + 1} C _{\mathit{n} + 1} = \frac{2}{3} \pi$이므로 코사인법칙에 의하여 $\displaystyle r _{n} ^{2} = r _{n + 1} ^{2} + r _{n + 1} ^{2} - 2 r _{n + 1} ^{2} \cos \frac{2}{3} \pi$ $r _{n} ^{2} = 3 r _{n + 1} ^{2}$ $\displaystyle r _{n + 1} = \frac{1}{\sqrt{3}} r _{n}$ 두 도형의 닮음비가 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{3}}$이므로 넓이의 비는 $\displaystyle \frac{1}{3}$이다. 그러므로 수열 $\left\{ S _{n} \right\}$은 첫째항이 $\displaystyle 6 \sqrt{3} - 2 \pi$이고 공비가 $\displaystyle \frac{1}{3}$인 등비수열이다. 따라서 $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n} = \frac{6 \sqrt{3} - 2 \pi}{1 - \frac{1}{3}} = 9 \sqrt{3} - 3 \pi$