미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

부채꼴 무게중심 급수

문제

그림과 같이 반지름의 길이가 23\displaystyle 2 \sqrt{3}이고 ∠A1OB1\angle \mathrm{A} _{1} OB _{1}==60∘60 ^\circ인 부채꼴 A1OB1\mathrm{A} _{1} OB _{1}이 있다. 세 점 A1\mathrm{A} _{1}, O\mathrm{O}, B1\mathrm{B} _{1}을 꼭짓점으로 하는 삼각형 A1OB1\mathrm{A} _{1} OB _{1}의 무게중심을 C1\mathrm{C} _{1}이라 할 때, 두 선분 A1C1\mathrm{A} _{1} C _{1}, B1C1\mathrm{B} _{1} C _{1}과 호 A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1}로 둘러싸인 도형의 넓이를 S1S _{1}이라 하자. 점 O\mathrm{O}를 중심으로 하고 점 C1\mathrm{C} _{1}을 지나는 원이 두 선분 OA1\mathrm{O} A _{1}, OB1\mathrm{O} B _{1}과 만나는 점을 각각 A2\mathrm{A} _{2}, B2\mathrm{B} _{2}라 하자. 세 점 A2\mathrm{A} _{2}, O\mathrm{O}, B2\mathrm{B} _{2}를 꼭짓점으로 하는 삼각형 A2OB2\mathrm{A} _{2} OB _{2}의 무게중심을 C2\mathrm{C} _{2}라 할 때, 두 선분 A2C2\mathrm{A} _{2} C _{2}, B2C2\mathrm{B} _{2} C _{2}와 호 A2B2\mathrm{A} _{2} B _{2}로 둘러싸인 도형의 넓이를 S2S _{2}라 하자. 점 O\mathrm{O}를 중심으로 하고 점 C2\mathrm{C} _{2}를 지나는 원이 두 선분 OA2\mathrm{O} A _{2}, OB2\mathrm{O} B _{2}와 만나는 점을 각각 A3\mathrm{A} _{3}, B3\mathrm{B} _{3}이라 하자. 세 점 A3\mathrm{A} _{3}, O\mathrm{O}, B3\mathrm{B} _{3}을 꼭짓점으로 하는 삼각형 A3OB3\mathrm{A} _{3} OB _{3}의 무게중심을 C3\mathrm{C} _{3}이라 할 때, 두 선분 A3C3\mathrm{A} _{3} C _{3}, B3C3\mathrm{B} _{3} C _{3}과 호 A3B3\mathrm{A} _{3} B _{3}으로 둘러싸인 도형의 넓이를 S3S _{3}이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 도형의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, ∑n=1∞Sn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n}의 값은? [4점]

①2π−3\displaystyle 2 \pi - \sqrt{3}②2π−23\displaystyle 2 \pi - 2 \sqrt{3}③2π−33\displaystyle 2 \pi - 3 \sqrt{3}④3π−33\displaystyle 3 \pi - 3 \sqrt{3}⑤3π−43\displaystyle 3 \pi - 4 \sqrt{3}

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④

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해설

점 C1\mathrm{C} _{1}은 정삼각형 A1OB1\mathrm{A} _{1} OB _{1}의 무게중심이므로 삼각형 A1OC1\mathrm{A} _{1} OC _{1}의 넓이와 삼각형 C1OB1\mathrm{C} _{1} OB _{1}의 넓이는 각각 삼각형 A1OB1\mathrm{A} _{1} OB _{1}의 넓이의 13\displaystyle \frac{1}{3}이다. 따라서 삼각형 C1OB1\mathrm{C} _{1} OB _{1}의 넓이는 13⋅34⋅(23)2=3\displaystyle \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \left( 2 \sqrt{3} \right) ^{2} = \sqrt{3}이다. S1S _{1}은 부채꼴 A1OB1\mathrm{A} _{1} OB _{1}의 넓이에서 두 삼각형 A1OC1\mathrm{A} _{1} OC _{1}, C1OB1\mathrm{C} _{1} OB _{1}의 넓이를 뺀 값이므로 S1=12⋅(23)2⋅π3−23=2π−23\displaystyle S _{1} = \frac{1}{2} \cdot \left( 2 \sqrt{3} \right) ^{2} \cdot \frac{\pi}{3} - 2 \sqrt{3} = 2 \pi - 2 \sqrt{3}

부채꼴 A1OB1\mathrm{A} _{1} OB _{1}과 부채꼴 A2OB2\mathrm{A} _{2} OB _{2}의 닮음비는 23:2=3:1\displaystyle 2 \sqrt{3} : 2 = \sqrt{3} : 1이므로 넓이의 비는 3:13 : 1이다. 따라서 수열 {Sn}\left\{ S _{n} \right\}은 첫째항이 2π−23\displaystyle 2 \pi - 2 \sqrt{3}, 공비가 13\displaystyle \frac{1}{3}인 등비수열이다. ∴\therefore ∑n=1∞Sn=2π−231−13=3π−33\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n} = \frac{2 \pi - 2 \sqrt{3}}{1 - \frac{1}{3}} = 3 \pi - 3 \sqrt{3}

태그

#무한등비급수#부채꼴

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