부채꼴 호와 선분 급수

그림과 같이 원점 $\mathrm{O}$와 점 $\mathrm{A} _{1} ( 1 , 0 )$을 이은 선분 $\mathrm{OA} _{1}$을 반지름으로 하고 중심각의 크기가 $\displaystyle \theta _{1} = \frac{\pi}{3}$인 부채꼴 $\mathrm{OA} _{1} B _{1}$을 그린다. 선분 $\mathrm{OB} _{1}$을 $2 : 1$로 내분하는 점을 $\mathrm{A} _{2}$라 하고, 선분 $\mathrm{OA} _{2}$를 반지름으로 하고 중심각의 크기가 $\displaystyle \theta _{2} = \frac{5}{6} \theta _{1}$인 부채꼴 $\mathrm{OA} _{2} B _{2}$를 그린다. 선분 $\mathrm{OB} _{2}$를 $2 : 1$로 내분하는 점을 $\mathrm{A} _{3}$이라 하고, 선분 $\mathrm{OA} _{3}$을 반지름으로 하고 중심각의 크기가 $\displaystyle \theta _{3} = \frac{5}{6} \theta _{2}$인 부채꼴 $\mathrm{OA} _{3} B _{3}$을 그린다. 이와 같은 과정을 계속하여 얻은 부채꼴 $\mathrm{OA} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}}$의 호 $\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}}$의 길이를 $l _{n}$, 선분 $\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} B _{\mathit{n}}$의 길이를 $k _{n}$이라 하자. $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \left( l _{n} + k _{n} \right) = a \pi + b$일 때, $a + b$의 값은? $($단, $a , b$는 유리수$)$ [4점]

①$\displaystyle \frac{3}{4}$②$\displaystyle \frac{5}{4}$③$\displaystyle \frac{7}{4}$④$\displaystyle \frac{9}{4}$⑤$\displaystyle \frac{11}{4}$