부채꼴 회전체 부피

점 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$는 원 $x ^{2} + y ^{2} = 4$ 위의 점이다. 따라서 점 $\mathrm{A}$의 좌표는 $\displaystyle ( \sqrt{3} , 1 )$, 점 $\mathrm{B}$의 좌표는 $\displaystyle ( - 1 , \sqrt{3} )$이고 직선 $\mathrm{OA}$의 방정식은 $\displaystyle y = \frac{1}{\sqrt{3}} x$, 직선 $\mathrm{OB}$의 방정식은 $\displaystyle y = - \sqrt{3} x$이다.

따라서 구하는 회전체의 부피를 $V$라 하면 $V$$\displaystyle = \pi \int _{- 1} ^{\sqrt{3}} ( 4 - x ^{2} ) dx$$\displaystyle - \pi \int _{-1} ^{0} \left( - \sqrt{3} x \right) ^{2} dx$$\displaystyle - \pi \int _{0} ^{\sqrt{3}} \left( \frac{1}{\sqrt{3}} x \right) ^{2} dx$ $\displaystyle = \pi \left[ 4 x - \frac{x ^{3}}{3} \right] _{-1} ^{\sqrt{3}}$$\displaystyle - \pi \left[ \begin{array}{l} x ^{3} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \end{array} \right] _{-1} ^{0}$$\displaystyle - \pi \left[ \frac{x ^{3}}{9} \right] _{0} ^{\sqrt{3}}$ $\displaystyle = \frac{8 ( \sqrt{3} + 1 )}{3} \pi$