미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

부채꼴 호 길이의 급수

문제

그림과 같이 원점 O\mathrm{O}와 점 A1(0,8)\mathrm{A} _{1} ( 0 , 8 )을 이은 선분 OA1\mathrm{O} A _{1}을 반지름으로 하고, 중심각의 크기가 θ\theta인 부채꼴 OA1B1\mathrm{OA} _{1} B _{1}을 그린다. 점 B1\mathrm{B} _{1}에서 xx축에 내린 수선의 발을 A2\mathrm{A} _{2}라 하고, 반지름이 선분 OA2\mathrm{O} A _{2}이고 중심각의 크기가 θ\theta인 부채꼴 OA2B2\mathrm{O} A _{2} \mathrm{B} _{2}를 그린다. 점 B2\mathrm{B} _{2}에서 yy축에 내린 수선의 발을 A3\mathrm{A} _{3}이라 하고, 반지름이 선분 OA3\mathrm{O} A _{3}이고 중심각의 크기가 θ\theta인 부채꼴 OA3B3\mathrm{O} A _{3} \mathrm{B} _{3}을 그린다. 이와 같이 시계 방향으로 xx축과 yy축에 번갈아 수선의 발을 내리는 과정을 계속하여 얻은 부채꼴 OAnBn\mathrm{OA} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n}}의 호 AnBn\mathrm{A} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n}}의 길이를 lnl _{n}이라 하자. ∑n=1∞ln=12θ\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} l _{n} = 12 \theta일 때, sin⁡θ\sin \theta의 값은? (단, 0<θ<π2\displaystyle 0 < \theta < \frac{\pi}{2}이다.) [4점]

①17\displaystyle \frac{1}{7}②16\displaystyle \frac{1}{6}③15\displaystyle \frac{1}{5}④14\displaystyle \frac{1}{4}⑤13\displaystyle \frac{1}{3}

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⑤

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해설

l1l _{1}은 반지름의 길이가 8,8 , 중심각의 크기가 θ\theta인 호의 길이이므로 l1=8θl _{1} = 8 \theta이다. 또, l2l _{2}는 반지름의 길이가 8sin⁡θ8 \sin \theta, 중심각의 크기가 θ\theta인 호의 길이이므로 l2=8θsin⁡θl _{2} = 8 \theta \sin \theta이다. 마찬가지로 l3=8θsin⁡2θ,l4=8θsin⁡3θ,⋯l _{3} = 8 \theta \sin ^{2} \theta , l _{4} = 8 \theta \sin ^{3} \theta , \cdots이다. 따라서 수열 {ln}\left\{ l _{n} \right\}은 첫째항이 8θ8 \theta이고 공비가 sin⁡θ\sin \theta인 무한등비수열이다. ∴∑n=1∞ln=8θ1−sin⁡θ=12θ\displaystyle \therefore \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} l _{n} = \frac{8 \theta}{1 - \sin \theta} = 12 \theta ∴sin⁡θ=13\displaystyle \therefore \sin \theta = \frac{1}{3}

태그

#무한등비급수#부채꼴

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