미적분Ⅱ급수수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

부채꼴 도형 무한등비급수

문제

그림과 같이 길이가 44인 선분 B1C1\mathrm{B _{1} C _{1}}을 빗변으로 하고 ∠B1A1C1=90∘\angle \mathrm{B} _{1} A _{1} C _{1} = 90 ^\circ인 직각이등변삼각형 A1B1C1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1}을 그린다. B1A1‾=B1C2‾\displaystyle \mathrm{\overline{B _{1} A _{1}}} = \mathrm{\overline{B _{1} C _{2}}}이고 C1A1‾=C1B2‾\displaystyle \mathrm{\overline{C _{1} A _{1}}} = \mathrm{\overline{C _{1} B _{2}}}인 선분 B1C1{{\mathrm{B} _{1} C _{1}}} 위의 두 점 C2\mathrm{C} _{2}와 B2\mathrm{B} _{2}에 대하여 부채꼴 B1A1C2\mathrm{B} _{1} A _{1} C _{2}와 부채꼴 C1A1B2\mathrm{C} _{1} A _{1} B _{2}를 그린 후 생긴 모양에 색칠하고 그 넓이를 S1S _{1}이라 하자. 선분 B2C2\mathrm{B} _{2} C _{2}를 빗변으로 하고 삼각형 A1B1C1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1}의 내부의 점 A2\mathrm{A} _{2}에 대하여 ∠B2A2C2=90∘\angle \mathrm{B} _{2} A _{2} C _{2} = 90 ^\circ인 직각이등변삼각형 A2B2C2\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2}를 그린다. B2A2‾=B2C3‾\displaystyle \mathrm{\overline{B _{2} A _{2}}} = \mathrm{\overline{B _{2} C _{3}}}이고 C2A2‾=C2B3‾\displaystyle \mathrm{\overline{C _{2} A _{2}}} = \mathrm{\overline{C _{2} B _{3}}}인 선분 B2C2{{\mathrm{B} _{2} C _{2}}} 위의 두 점 C3\mathrm{C} _{3}과 B3\mathrm{B} _{3}에 대하여 부채꼴 B2A2C3\mathrm{B} _{2} A _{2} C _{3}과 부채꼴 C2A2B3\mathrm{C} _{2} A _{2} B _{3}을 그린 후 생긴 모양에 색칠하고 그 넓이를 S2S _{2}라 하자. 선분 B3C3\mathrm{B} _{3} C _{3}을 빗변으로 하고 삼각형 A2B2C2\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2}의 내부의 점 A3\mathrm{A} _{3}에 대하여 ∠B3A3C3=90∘\angle \mathrm{B} _{3} A _{3} C _{3} = 90 ^\circ인 직각이등변삼각형 A3B3C3\mathrm{A} _{3} B _{3} C _{3}을 그린다. B3A3‾=B3C4‾\displaystyle \mathrm{\overline{B _{3} A _{3}}} = \mathrm{\overline{B _{3} C _{4}}}이고 C3A3‾=C3B4‾\displaystyle \mathrm{\overline{C _{3} A _{3}}} = \mathrm{\overline{C _{3} B _{4}}}인 선분 B3C3\mathrm{B} _{3} C _{3} 위의 두 점 C4\mathrm{C} _{4}와 B4\mathrm{B} _{4}에 대하여 부채꼴 B3A3C4\mathrm{B} _{3} A _{3} C _{4}와 부채꼴 C3A3B4\mathrm{C} _{3} A _{3} B _{4}를 그린 후 생긴 모양에 색칠하고 그 넓이를 S3S _{3}이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 얻은 SnS _{n}에 대하여 14−π∑n=1∞Sn=a+b\displaystyle \frac{1}{4 - \pi} \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n} = a + \sqrt{b}(aa, bb는 정수)일 때, a2+b2a ^{2} + b ^{2}의 값을 구하시오. [4점]

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5

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해설

[출제의도] 도형과 무한등비급수 추론하기 S1=S _{1} =2{(2 \left\{ ( \right.삼각형 A1B1C1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1}의 넓이)) −(- (부채꼴 B1A1C2\mathrm{B} _{1} A _{1} C _{2}의 넓이)}) \} =2(4−12⋅8⋅π4)=2(4−π)\displaystyle = 2 \left( 4 - \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot \frac{\pi}{4} \right) = 2 \left( 4 - \pi \right) S2=S _{2} =2{(2 \left\{ ( \right.삼각형 A2B2C2\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2}의 넓이))−(- (부채꼴 B2A2C3\mathrm{B} _{2} A _{2} C _{3}의 넓이)}) \} =2(4−π)(2−1)2\displaystyle = 2 \left( 4 - \pi \right) ( \sqrt{2} - 1 ) ^{2}

BnCn‾=2ln\displaystyle \mathrm{\overline{B _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}}}} = \mathit{2} l _{n}, Bn+1Cn+1‾=2ln+1\displaystyle \mathrm{\overline{B _{\mathit{n} + 1} C _{\mathit{n} + 1}}} = \mathit{2} l _{n + 1}이라 하면 AnBn‾=BnCn+1‾=2ln\displaystyle \mathrm{\overline{A _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}}}} = \mathit{\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{C} _{\mathit{n} \mathrm{+} 1}}} = \sqrt{2} l _{n}이고12BnCn‾+12Bn+1Cn+1‾=BnCn+1‾\displaystyle \frac{\mathrm{1}}{2} {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} C _{\mathit{n} \mathrm{_{\mathit{}}}} \mathit{}}} + \frac{1}{2} {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n} + 1} C _{\mathit{n} \mathrm{_{\mathit{}}} \mathrm{+} 1} \mathit{}}} = {\overline{B _{\mathit{n}} C _{\mathit{n} + 1}}}이므로 ln+ln+1=2ln\displaystyle l _{n} + l _{n + 1} = \sqrt{2} l _{n} ln+1=(2−1)ln\displaystyle l _{n + 1} = \left( \sqrt{2} - 1 \right) l _{n} Sn+1=(2−1)2Sn\displaystyle S _{n + 1} = \left( \sqrt{2} - 1 \right) ^{2} S _{n} 14−π∑n=1∞Sn=14−π⋅2(4−π)1−(2−1)2\displaystyle \frac{1}{4 - \pi} \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n} = \frac{1}{4 - \pi} \cdot \frac{2 ( 4 - \pi )}{1 - ( \sqrt{2} - 1 ) ^{2}}=1+2\displaystyle = 1 + \sqrt{2} a=1a = 1, b=2b = 2 따라서 a2+b2=5a ^{2} + b ^{2} = 5

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