부채꼴 도형 등비급수

그림과 같이 한 변의 길이가 $6$인 정사각형 $\mathrm{ABCD}$가 있다. 두 선분 $\mathrm{AB}$, $\mathrm{CD}$의 중점을 각각 $\mathrm{M}$, $\mathrm{N}$이라 하자. 두 선분 $\mathrm{BC}$, $\mathrm{AD}$ 위에 $\displaystyle {\overline{\mathrm{ME}}} = {\overline{\mathrm{MF}}} = \overline{\mathrm{AB}}$가 되도록 각각 점 $\mathrm{E}$, $\mathrm{F}$를 잡고, 중심이 $\mathrm{M}$인 부채꼴 $\mathrm{MEF}$를 그린다. 두 선분 $\mathrm{BC}$, $\mathrm{AD}$ 위에 $\displaystyle {\overline{\mathrm{NG}}} = {\overline{\mathrm{NH}}} = {\overline{\mathrm{AB}}}$가 되도록 각각 점 $\mathrm{G}$, $\mathrm{H}$를 잡고, 중심이 $\mathrm{N}$인 부채꼴 $\mathrm{NHG}$를 그린다. 두 부채꼴 $\mathrm{MEF}$, $\mathrm{NHG}$의 내부에서 공통부분을 제외한 나머지 부분에 와 같이 색칠하여 얻은 그림을 $R _{1}$이라 하자. 그림 $R _{1}$에서 두 부채꼴 $\mathrm{MEF}$, $\mathrm{NHG}$의 공통부분인 마름모의 각 변에 꼭짓점이 있고, 네 변이 정사각형 $\mathrm{ABCD}$의 네 변과 각각 평행한 정사각형을 그린다. 새로 그려진 정사각형에 그림 $R _{1}$을 얻은 방법과 같은 방법으로 $2$개의 부채꼴을 각각 그린 다음 $2$개의 부채꼴의 내부에서 공통부분을 제외한 나머지 부분에 와 같이 색칠하여 얻은 그림을 $R _{2}$라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 $n$번째 얻은 그림 $R _{n}$에서 색칠된 부분의 넓이를 $S _{n}$이라 할 때, $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n}$의 값은? [4점]

①$\displaystyle 8 \sqrt{3} ( \pi - \sqrt{3} )$②$\displaystyle 9 \sqrt{3} ( \pi - \sqrt{3} )$③$\displaystyle 10 \sqrt{3} ( \pi - \sqrt{3} )$④$\displaystyle 11 \sqrt{3} ( \pi - \sqrt{3} )$⑤$\displaystyle 12 \sqrt{3} ( \pi - \sqrt{3} )$