미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

부채꼴 도형 등비급수

문제

중심이 O\mathrm{O}, 반지름의 길이가 66이고 중심각의 크기가 60∘60 ^\circ인 부채꼴 OA1B1\mathrm{OA} _{1} B _{1}이 있다. 그림과 같이 호 A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1}을 이등분하는 점 M1\mathrm{M} _{1}에서 두 선분 OA1\mathrm{OA} _{1}, OB1\mathrm{OB} _{1}에 내린 수선의 발을 각각 P1\mathrm{P} _{1}, Q1\mathrm{Q} _{1}이라 하고, 중심이 M1\mathrm{M} _{1}, 반지름의 길이가 M1P1‾\displaystyle \overline{\mathrm{M} _{1} P _{1}}인 부채꼴 M1P1Q1\mathrm{M} _{1} P _{1} Q _{1}을 그린다. 점 O\mathrm{O}를 중심으로 하고 호 P1Q1\mathrm{P} _{1} Q _{1}에 접하는 원이 두 선분 OA1\mathrm{OA} _{1}, OB1\mathrm{OB} _{1}과 만나는 점을 각각 A2\mathrm{A} _{2}, B2\mathrm{B} _{2}라 할 때, 호 P1Q1\mathrm{P} _{1} Q _{1}, 호 A2B2\mathrm{A} _{2} B _{2}, 선분 P1A2\mathrm{P} _{1} A _{2}, 선분 Q1B2\mathrm{Q} _{1} B _{2}로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에 호 A2B2\mathrm{A} _{2} B _{2}를 이등분하는 점 M2\mathrm{M} _{2}에서 두 선분 OA2\mathrm{OA} _{2}, OB2\mathrm{OB} _{2}에 내린 수선의 발을 각각 P2\mathrm{P} _{2}, Q2\mathrm{Q} _{2}라 하고, 중심이 M2\mathrm{M} _{2}, 반지름의 길이가 M2P2‾\displaystyle \overline{\mathrm{M} _{2} P _{2}}인 부채꼴 M2P2Q2\mathrm{M} _{2} P _{2} Q _{2}를 그린다. 점 O\mathrm{O}를 중심으로 하고 호 P2Q2\mathrm{P} _{2} Q _{2}에 접하는 원이 두 선분 OA2\mathrm{OA} _{2}, OB2\mathrm{OB} _{2}와 만나는 점을 각각 A3\mathrm{A} _{3}, B3\mathrm{B} _{3}이라 할 때, 호 P2Q2\mathrm{P} _{2} Q _{2}, 호 A3B3\mathrm{A} _{3} B _{3}, 선분 P2A3\mathrm{P} _{2} A _{3}, 선분 Q2B3\mathrm{Q} _{2} B _{3}으로 둘러싸인 모양의 도형에 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}의 값은? [4점]

60∘60 ^\circ ⋯\cdots ⋯\cdots

①6(23−π)\displaystyle 6 \left( 2 \sqrt{3} - \pi \right)②7(23−π)\displaystyle 7 \left( 2 \sqrt{3} - \pi \right)③8(23−π)\displaystyle 8 \left( 2 \sqrt{3} - \pi \right)④9(23−π)\displaystyle 9 \left( 2 \sqrt{3} - \pi \right)⑤10(23−π)\displaystyle 10 \left( 2 \sqrt{3} - \pi \right)

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①

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해설

[출제의도] 등비급수를 활용하여 문제해결하기 그림 R1R _{1}에서

30∘30 ^\circ 60∘60 ^\circ

S1S _{1}은 직각삼각형 OP1M1\mathrm{OP} _{1} M _{1}에서 부채꼴 M1P1M2\mathrm{M} _{1} P _{1} M _{2}와 부채꼴 OA2M2\mathrm{O} A _{2} M _{2}를 뺀 넓이의 두 배이므로 S1=2×{(12×3×33)\displaystyle S _{1} = 2 \times \left\{ \left( \frac{1}{2} \times 3 \times 3 \sqrt{3} \right) \right.−(π×32×60360)−(π×32×30360)}\displaystyle \left. - \left( \pi \times 3 ^{2} \times \frac{60}{360} \right) - \left( \pi \times 3 ^{2} \times \frac{30}{360} \right) \right\} =2×(932−94π)=93−92π\displaystyle = 2 \times \left( \frac{9 \sqrt{3}}{2} - \frac{9}{4} \pi \right) = 9 \sqrt{3} - \frac{9}{2} \pi 다음은 그림 Rn+1R _{n+1}의 일부이다.

Rn+1R _{n + 1} An\mathrm{A} _{\mathit{n}} Bn\mathrm{B} _{\mathit{n}} Pn\mathrm{P} _{\mathit{n}} An+1\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} Bn+1\mathrm{B} _{\mathit{n} + 1} Mn\mathrm{M} _{\mathit{n}} Qn\mathrm{Q} _{\mathit{n}} Mn+1\mathrm{M} _{\mathit{n} + 1} Pn+1\mathrm{P} _{\mathit{n} + 1} An+2\mathrm{A} _{\mathit{n} + 2} Qn+1\mathrm{Q} _{\mathit{n} + 1} Bn+2\mathrm{B} _{\mathit{n} + 2}

OMn‾=a\displaystyle \overline{\mathrm{OM} _{\mathit{n}}} = a(a≠0)\left( a \ne 0 \right)라 하면 OMn+1‾=a2\displaystyle \overline{\mathrm{OM} _{\mathit{n} + 1}} = \frac{a}{2} 중심각의 크기가 같은 부채꼴 OAnBn{\mathrm{OA}} _{n} {\mathrm{B}} _{n}과 부채꼴 OAn+1Bn+1\mathrm{OA} \mathit{\mathrm{_{\mathit{n} + 1}}} \mathrm{B} \mathit{\mathrm{_{n + 1}}}은 서로 닮음이고 닮음비는 OMn‾:OMn+1‾=a:a2=1:12\displaystyle \overline{\mathrm{OM} _{\mathit{n}}} : \overline{\mathrm{OM} _{\mathit{n} + 1}} = a : \frac{a}{2} = 1 : \frac{1}{2}이다. 그러므로 그림 RnR _{n}과 Rn+1R _{n+1}에서 새로 얻어진 모양의 도형도 서로 닮음이고 닮음비가 1:12\displaystyle 1 : \frac{1}{2}이므로 넓이비는 1:14\displaystyle 1 : \frac{1}{4}이다. 따라서 SnS _{n}은 첫째항이 93−92π\displaystyle 9 \sqrt{3} - \frac{9}{2} \pi이고 공비가 14\displaystyle \frac{1}{4}인 등비수열의 첫째항부터 제nn항까지의 합이다. ∴\therefore lim⁡n→∞Sn=93−92π1−14\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}} = \frac{9 \sqrt{3} - \frac{9}{2} \pi}{1 - \frac{1}{4}}=43(93−92π)\displaystyle = \frac{4}{3} \left( 9 \sqrt{3} - \frac{9}{2} \pi \right)=123−6π\displaystyle = 12 \sqrt{3} - 6 \pi =6(23−π)\displaystyle = 6 \left( 2 \sqrt{3} - \pi \right)

태그

#등비급수#도형의 넓이

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