미적분Ⅱ급수수능 기출기본 문제 (3점 중반)

부채꼴 반복 도형 급수

문제

그림과 같이 중심이 O1\mathrm{O} _{1}, 반지름의 길이가 11이고 중심각의 크기가 5π12\displaystyle \frac{5 \pi}{12}인 부채꼴 O1A1O2\mathrm{O} _{1} A _{1} O _{2}가 있다. 호 A1O2\mathrm{A} _{1} O _{2} 위에 점 B1\mathrm{B} _{1}을 ∠A1O1B1\angle \mathrm{A} _{1} O _{1} B _{1}=π4\displaystyle = \frac{\pi}{4}가 되도록 잡고, 부채꼴 O1A1B1\mathrm{O} _{1} A _{1} B _{1}에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에서 점 O2\mathrm{O} _{2}를 지나고 선분 O1A1\mathrm{O} _{1} A _{1}에 평행한 직선이 직선 O1B1\mathrm{O} _{1} B _{1}과 만나는 점을 A2\mathrm{A} _{2}라 하자. 중심이 O2\mathrm{O} _{2}이고 중심각의 크기가 5π12\displaystyle \frac{5 \pi}{12}인 부채꼴 O2A2O3\mathrm{O} _{2} A _{2} O _{3}을 부채꼴 O1A1B1\mathrm{O} _{1} A _{1} B _{1}과 겹치지 않도록 그린다. 호 A2O3\mathrm{A} _{2} O _{3} 위에 점 B2\mathrm{B} _{2}를 ∠A2O2B2\angle \mathrm{A} _{2} O _{2} B _{2}=π4\displaystyle = \frac{\pi}{4}가 되도록 잡고, 부채꼴 O2A2B2\mathrm{O} _{2} A _{2} B _{2}에 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} S _{n}의 값은? [3점]

⋯\cdots
R1R _{1}R2R _{2}⋯\cdots

①3π16\displaystyle \frac{3 \pi}{16}②7π32\displaystyle \frac{7 \pi}{32}③π4\displaystyle \frac{\pi}{4}④9π32\displaystyle \frac{9 \pi}{32}⑤5π16\displaystyle \frac{5 \pi}{16}

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③

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해설

[출제의도] 한없이 반복되는 도형에서 넓이의 합을 등비급수를 활용하여 극한값을 구할 수 있는가? S1=12×12×π4=π8\displaystyle S _{1} = \frac{1}{2} \times 1 ^{2} \times \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8} ∠O1A2O2=π4\displaystyle \mathrm{\angle} O _{1} A _{2} O _{2} = \frac{\pi}{4}이므로 삼각형 O1A2O2\mathrm{O} _{1} A _{2} O _{2}에 서 사인법칙에 의하여 O2A2‾sin⁡π6=O1O2‾sin⁡π4,\displaystyle \frac{\mathrm{\mathrm{\overline{O _{2} A _{2}}}}}{\sin \frac{\pi}{6}} = \frac{{\overline{\mathrm{O} _{1} O _{2}}}}{\sin \frac{\pi}{4}} , O2A2‾12=122\displaystyle \frac{\mathrm{\mathrm{\overline{O _{2} A _{2}}}}}{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{\sqrt{2}}{2}} O2A2‾=12\displaystyle \mathrm{\overline{O _{2} A _{2}}} = \frac{1}{\sqrt{2}} 따라서 닮음비는 1:12\displaystyle 1 : \frac{1}{\sqrt{2}}이므로 넓이의 비는 1:12\displaystyle 1 : \frac{1}{2}이다. 즉, 구하는 극한값은 첫째항이 π8\displaystyle \frac{\pi}{8}이고, 공비가 12\displaystyle \frac{1}{2}인 등비급수의 합이므로 lim⁡n→∞Sn=π81−12=π4\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}} = \frac{\frac{\pi}{8}}{1 - \frac{1}{2}} = \frac{\pi}{4}

태그

#등비급수#도형의 닮음#부채꼴

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