부분집합 원소 조건

$p \in X$에 대하여 $\displaystyle \frac{p + 2}{3} \in X$이려면 $p \in \left\{ 1 , 4 , 7 , 10 \right\}$ 이때, $p \in \left\{ 1 , 4 , 7 , 10 \right\}$인 $p$에 대하여 $p$, $\displaystyle \frac{p + 2}{3}$, $\displaystyle \frac{p + 2}{3} + 3$을 순서쌍 $\displaystyle \left( p , \frac{p + 2}{3} , \frac{p + 2}{3} + 3 \right)$으로 나타내면 $\left( 1 , 1 , 4 \right)$, $\left( 4 , 2 , 5 \right)$, $\left( 7 , 3 , 6 \right)$, $\left( 10 , 4 , 7 \right)$ 한편, 집합 $A \cap B$와 집합 $B - A$는 서로소이므로 순서쌍 $\left( 1 , 1 , 4 \right)$에서 $1 \in A \cap B$이면 $1 \in B - A$가 되어 모순이다. 그러므로 $A \cap B \subset \left\{ 4 , 7 , 10 \right\}$이고, $n \left( A \cap B \right) = 2$인 경우는 다음과 같다. (ⅰ) $A \cap B = \left\{ 4 , 7 \right\}$인 경우 $2$, $3$은 집합 $B - A$의 원소이고, $5$, $6$은 집합 $A - B$의 원소이다. $8$, $9$, $10$은 $3$을 더한 수가 집합 $X$의 원소가 아니므로 $8$, $9$, $10$은 집합 $B - A$의 원소가 아니다. $n \left( B - A \right) = 3$이므로 $1 \in B$이다. $B - A = \left\{ 1 , 2 , 3 \right\}$이므로 집합 $B - A$의 모든 원소의 합은 $6$이다. (ⅱ) $A \cap B = \left\{ 7 , 10 \right\}$인 경우 $3$, $4$는 집합 $B - A$의 원소이고, $6$은 집합 $A - B$의 원소이다. $8$, $9$는 $3$을 더한 수가 집합 $X$의 원소가 아니므로 $8$, $9$는 집합 $B - A$의 원소가 아니다. $1 \in B - A$이면 $4 \in A$가 되어 모순이다. $n \left( B - A \right) = 3$이므로 $2 \in B$ 또는 $5 \in B$ 집합 $B - A$는 $\left\{ 2 , 3 , 4 \right\}$ 또는 $\left\{ 3 , 4 , 5 \right\}$이므로 집합 $B - A$의 모든 원소의 합은 $9$ 또는 $12$이다. (ⅲ) $A \cap B = \left\{ 4 , 10 \right\}$인 경우 $10 \in A \cap B$이므로 $4 \in B - A$ 그런데 $4 \in A \cap B$이므로 모순이다. (ⅰ)$\sim$(ⅲ)에서 집합 $B - A$의 모든 원소의 합의 최댓값은 $12$