부분집합 포함 확률

선택한 두 집합 $X , Y$가 $X \subset Y$인 경우의 수는 ⅰ) $n ( Y ) = 4$일 때, ${}_{4} \mathrm{C} _{4} \cdot ( 2 ^{4} - 1 ) = 15$ ⅱ) $n ( Y ) = 3$일 때, ${}_{4} \mathrm{C} _{3} \cdot ( 2 ^{3} - 1 ) = 28$ ⅲ) $n ( Y ) = 2$일 때, ${}_{4} \mathrm{C} _{2} \cdot ( 2 ^{2} - 1 ) = 18$ ⅳ) $n ( Y ) = 1$일 때, ${}_{4} \mathrm{C} _{1} \cdot ( 2 ^{1} - 1 ) = 4$ 와 같이 $15 + 28 + 18 + 4 = 65$이고, $A$의 부분집합 중에서 임의로 서로 다른 두 집합을 택하는 경우의 수는 ${} _{16} \mathrm{C} \mathit{\mathrm{_{2}}} = 120$이다. 따라서 구하는 확률은$\displaystyle \frac{65}{120} = \frac{13}{24}$