부분집합 교집합 정규근사

집합 $A = \left\{ 2 , 3 , 4 \right\}$의 부분집합은 $\emptyset$, $\left\{ 2 \right\}$, $\left\{ 3 \right\}$, $\left\{ 4 \right\}$, $\left\{ 2 , 3 \right\}$, $\left\{ 2 , 4 \right\}$, $\left\{ 3 , 4 \right\}$, $\left\{ 2 , 3 , 4 \right\}$ 집합 $B = \left\{ 2 , 3 \right\}$의 부분집합은 $\emptyset$, $\left\{ 2 \right\}$, $\left\{ 3 \right\}$, $\left\{ 2 , 3 \right\}$ 따라서 한 번의 시행에서 선택할 수 있는 모든 경우의 수는 $8 \times 4 = 32$ $A$의 부분집합을 $X$, $B$의 부분집합을 $Y$라 할 때 $n \left( X \cap Y \right) = 1$이 되는 경우의 수는 (ⅰ) $Y = \left\{ 2 \right\}$일 때 $2 \in X$이어야 하고 $A$의 부분집합 중 $2$를 원소로 갖는 집합의 개수는 $2 ^{3 - 1} = 4$ (ⅱ) $Y = \left\{ 3 \right\}$일 때 $3 \in X$이어야 하고 $A$의 부분집합 중 $3$을 원소로 갖는 집합의 개수는 $2 ^{3 - 1} = 4$ (ⅲ) $Y = \left\{ 2 , 3 \right\}$일 때 조건을 만족하는 집합 $X$는 $\left\{ 2 \right\}$, $\left\{ 2 , 4 \right\}$, $\left\{ 3 \right\}$, $\left\{ 3 , 4 \right\}$ 이상에서 구하는 경우의 수는 $4 + 4 + 4 = 12$ 따라서 한 번의 시행에서 교집합의 원소의 개수가 $1$일 확률을 $p$라 하면 $\displaystyle p = \frac{12}{32} = \frac{3}{8}$ 이 시행을 $15360$번 반복할 때 기록한 수가 $1$인 횟수를 확률변수 $X$라 하면 $X$는 이항분포 $\displaystyle {\mathrm{B}} \left( 15360 , \frac{3}{8} \right)$을 따른다. $\displaystyle \mathrm{E} \mathit{\left( X \right)} = 15360 \times \frac{3}{8} = 5760$ $\displaystyle \mathrm{V} \mathit{\left( X \right)} = 15360 \times \frac{3}{8} \times \frac{5}{8} = 3600 = 60 ^{2}$ 이때 시행 횟수 $15360$은 충분히 크므로 확률변수 $X$는 근사적으로 정규분포를 따른다. 따라서 $X$는 정규분포 ${\mathrm{N}} \left( 5760 , 60 ^{2} \right)$을 근사적으로 따른다. $\displaystyle Z = \frac{X - 5760}{60}$이라 놓으면 확률변수 $Z$는 표준정규분포 ${\mathrm{N}} \left( 0 , 1 \right)$을 따른다. $\therefore$ $\mathrm{P} \mathit{\left( X \geq 5880 \right)}$$\displaystyle = \mathrm{P} \mathit{\left( Z \geq \frac{5880 - 5760}{60} \right)}$ $= \mathrm{P} \mathit{\left( Z \geq 2 \right)}$ $= 0.5 - \mathrm{P} \mathit{\left( 0 \leq Z \leq 2 \right)}$ $= 0.5 - 0.477$ $= 0.023$ $\therefore$ $1000 k = 1000 \times 0.023 = 23$