부분집합 교대합의 합

[출제의도] 규칙을 발견하고 이를 이용하여 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다. $\left\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 \right\}$의 $2 ^{5}$개의 부분집합 중 최대의 원소인 $5$를 포함하는 것과 $5$를 포함하지 않는 것을 다음과 같이 일대일대응시킬 수 있다. $\emptyset$↔ $\left\{ 5 \right\}$ $\left\{ 1 \right\}$↔$\left\{ 1 , 5 \right\}$ $\left\{ 2 \right\}$↔$\left\{ 2 , 5 \right\}$ $\left\{ 3 \right\}$↔$\left\{ 3 , 5 \right\}$ $\vdots$ $\left\{ 1 , 2 , 3 , 4 \right\}$↔$\left\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 \right\}$ 두 집합 $A$, $B$가 위와 같이 대응될 때 $m ( \emptyset ) = 0$으로 정하고 $m ( A ) + m ( B )$의 값을 구하여 보자. $\emptyset$↔ $\left\{ 5 \right\}$의 경우 : $0 + 5 = 5$ $\left\{ 1 \right\}$↔$\left\{ 1 , 5 \right\}$의 경우 : $1 + ( 5 - 1 ) = 5$ $\left\{ 2 \right\}$↔$\left\{ 2 , 5 \right\}$의 경우 : $2 + ( 5 - 2 ) = 5$ $\left\{ 3 \right\}$↔$\left\{ 3 , 5 \right\}$의 경우 : $3 + ( 5 - 3 ) = 5$ $\vdots$ $\left\{ 1 , 2 , 3 , 4 \right\}$↔$\left\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 \right\}$의 경우 : $( 4 - 3 + 2 - 1 ) + ( 5 - 4 + 3 - 2 + 1 ) = 5$ 이와 같은 경우가 부분집합의 개수의 절반인 $\displaystyle \frac{2 ^{5}}{2} = 16$(가지) 만큼 존재하므로 구하는 값은 $m ( X _{1} ) + m ( X _{2} ) + \cdots + m ( X _{31} ) = 5 \times 16 = 80$