부분집합 개수 빈칸

[출제의도] 조합의 수를 이해하여 집합의 개수를 구하는 과정을 추론한다. $A$$= \left\{ x \left| \right. \right.$$x$는 $10$ 이하의 자연수$\}$$= \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10 \right\}$ $B$$= \left\{ x \left| \right. \right.$$x$는 $6$ 이상 $15$ 이하의 자연수$\}$ $= \left\{ 6 , 7 , 8 , 9 , 10 , 11 , 12 , 13 , 14 , 15 \right\}$ 에서 $A - B$$= \left\{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 \right\}$, $A \cap B$$= \left\{ 6 , 7 , 8 , 9 , 10 \right\}$이므로 $n \left( A - B \right) = 5$, $n \left( A \cap B \right) = 5$ $X _{1} = X {\cap} \left( A - B \right)$, $X _{2} = X \cap \left( A {\cap} B \right)$라 하면 $X = X _{1} {\cup} X _{2}$이고 $X _{1} {\cap} X _{2} = \emptyset$이다. (ⅰ) $n \left( X \cup B \right)$$= 12$이고 $n \left( B \right)$$= 10$이므로 $n \left( X _{1} \right)$$= {\square {{}^{} 2}}$ 집합 $X _{1}$은 집합 $A - B$의 부분집합 중 원소의 개수가 $2$인 부분집합이므로 가능한 집합 $X _{1}$의 개수는 ${}_{5} \mathrm{C} \mathit{_{2}} = {\square {{}^{} \mathrm{10}}}$이다. (ⅱ) 집합 $X _{2}$는 집합 $A \cap B$의 부분집합이므로 가능한 집합 $X _{2}$의 개수는 $2 ^{5} = {\square {{}^{} 32}}$이다. (ⅰ), (ⅱ)에 의하여 집합 $X$의 개수는 집합 $X _{1}$을 정하는 경우의 수와 집합 $X _{2}$를 정하는 경우의 수의 곱과 같으므로 ${} _{5} \mathrm{C} _{2}$$\times$$2 ^{5}$$= {\square {{}^{} 10}} \times {\square {{}^{} 32}}$$= 320$ 따라서 $p = 2$, $q = 10$, $r = 32$이므로 $p + q + r = 44$