부분집합 개수

[출제의도] 부분집합의 성질을 이용하여 조건을 만족시키는 집합의 개수를 구한다. $A \cap X = A$에서 $A \subset X$, $X \cup ( A \cup B ) = A \cup B$에서 $X \subset ( A \cup B )$ 그런데 $A = \{ 1 , 2 , 3 , 4 \}$이므로 집합 $X$에 집합 $A$의 원소인 $1$, $2$, $3$, $4$가 모두 속해야 한다. 또한 $A \cup B = \{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 \}$이므로 집합 $X$가 될 수 있는 경우는 다음과 같다. (ⅰ) 원소 $5$, $6$이 모두 속하지 않는 경우 $X = \{ 1 , 2 , 3 , 4 \}$ (ⅱ) 원소 $5$는 속하고 $6$은 속하지 않는 경우 $X = \{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 \}$ (ⅲ) 원소 $5$는 속하지 않고 $6$은 속하는 경우 $X = \{ 1 , 2 , 3 , 4 , 6 \}$ (ⅳ) 원소 $5$, $6$이 모두 속하는 경우 $X = \{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 \}$ 따라서 집합 $X$의 개수는 $4$이다. [다른 풀이] $A = \{ 1 , 2 , 3 , 4 \}$이고 $A \cup B = \{ 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 \}$이므로 두 원소 $5$, $6$이 집합 $X$에 각각 속하는 경우, 속하지 않는 경우로 나누어 집합 $X$의 개수를 구하면 $2 ^{2}$$= 4$이다.