공통수학2집합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

부분집합 최소 원소 합

문제

집합 S={1,12,122,123,124}\displaystyle S = \left\{ 1 , \frac{1}{2} , \frac{1}{2 ^{2}} , \frac{1}{2 ^{3}} , \frac{1}{2 ^{4}} \right\}의 공집합이 아닌 서로 다른 부분집합을 A1A _{1}, A2A _{2}, A3A _{3}, …, A31A _{31}이라 하자. 이 때, 각각의 집합 A1A _{1}, A2A _{2}, A3A _{3}, …, A31A _{31}에서 최소인 원소를 뽑아 이들을 모두 더하면? [3점] ①12\displaystyle \frac{1}{2}②11③22④44⑤55

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⑤

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해설

[출제의도] 부분집합의 개수를 이용하여 문제를 해결할 수 있다. 집합 A1A _{1}, A2A _{2}, …A31A _{31} 중에서 (ⅰ) 최소인 원소가 11인 집합은 11만 속하는 집합이므로 부분집합의 개수는 20=12 ^{0} = 1(개) (ⅱ) 최소인 원소가 12\displaystyle \frac{1}{2}인 집합은 12\displaystyle \frac{1}{2}은 속하고 122\displaystyle \frac{1}{2 ^{2}}, 123\displaystyle \frac{1}{2 ^{3}}, 124\displaystyle \frac{1}{2 ^{4}}은 속하지 않는 집합이므로 부분집합의 개수는 21=22 ^{1} = 2(개) (ⅲ) 최소인 원소가 122\displaystyle \frac{1}{2 ^{2}}인 집합은 122\displaystyle \frac{1}{2 ^{2}}은 속하고 123\displaystyle \frac{1}{2 ^{3}}, 124\displaystyle \frac{1}{2 ^{4}}은 속하지 않는 집합이므로 부분집합의 개수는 22=42 ^{2} = 4(개) (ⅳ) 최소인 원소가 123\displaystyle \frac{1}{2 ^{3}}인 집합은 123\displaystyle \frac{1}{2 ^{3}}은 속하고 124\displaystyle \frac{1}{2 ^{4}}은 속하지 않는 집합이므로 부분집합의 개수는 23=82 ^{3} = 8(개) (ⅴ) 최소인 원소가 124\displaystyle \frac{1}{2 ^{4}}인 집합은 124\displaystyle \frac{1}{2 ^{4}}이 속하는 집합이므로 부분집합의 개수는 24=162 ^{4} = 16(개) 따라서, 최소인 원소들의 합은 1×1+12×2+122×4+123×8+124×16=5\displaystyle 1 \times 1 + \frac{1}{2} \times 2 + \frac{1}{2 ^{2}} \times 4 + \frac{1}{2 ^{3}} \times 8 + \frac{1}{2 ^{4}} \times 16 = 5

태그

#부분집합의 개수#최소 원소

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