미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

부분적분 정적분

문제

두 함수 f(x)f ( x ), g(x)g ( x )는 실수 전체의 집합에서 도함수가 연속이고 다음 조건을 만족시킨다.

(가) 모든 실수 xx에 대하여 f(x)g(x)=x4−1f ( x ) g ( x ) = x ^{4} - 1이다. (나) ∫−11{f(x)}2g′(x)dx=120\displaystyle \int _{- 1} ^{1} {} \left\{ f ( x ) \right\} ^{2} g' ( x ) dx = 120

∫−11x3f(x)dx\displaystyle \int _{- 1} ^{1} {} x ^{3} f ( x ) dx의 값은? [4점] ①1212②1515③1818④2121⑤2424

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②

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해설

(나)에서 부분적분법에 의하여 ∫−11{f(x)}2g′(x)dx=[{f(x)}2g(x)]−11−∫−112f(x)f′(x)g(x)dx\displaystyle \int _{- 1} ^{1} {\left\{ f \left( x \right) \right\} ^{2} g' \left( x \right) dx} = \left[ \left\{ f \left( x \right) \right\} ^{2} g \left( x \right) \right] _{- 1} ^{1} - \int _{- 1} ^{1} {2 f \left( x \right) f' \left( x \right) g \left( x \right) dx} =0−∫−112{f(x)g(x)}f′(x)dx\displaystyle = 0 - \int _{- 1} ^{1} {2 \left\{ f \left( x \right) g \left( x \right) \right\} f' \left( x \right) dx} 이고 (가)에서 f(x)g(x)=x4−1f \left( x \right) g \left( x \right) = x ^{4} - 1이므로 =−2∫−11(x4−1)f′(x)dx=120\displaystyle = - 2 \int _{- 1} ^{1} {\left( x ^{4} - 1 \right) f' \left( x \right) dx} = 120 ∴∫−11(x4−1)f′(x)dx=−60\displaystyle \therefore \int _{- 1} ^{1} {\left( x ^{4} - 1 \right) f' \left( x \right) dx} = - 60 이는 다시 부분적분법에 의하여 ∫−11(x4−1)f′(x)dx=[(x4−1)f(x)]−11−∫−114x3f(x)dx\displaystyle \int _{- 1} ^{1} {\left( x ^{4} - 1 \right) f' \left( x \right) dx} = \left[ \left( x ^{4} - 1 \right) f \left( x \right) \right] _{- 1} ^{1} - \int _{- 1} ^{1} {4 x ^{3} f \left( x \right) dx} =0−4∫−11x3f(x)dx=−60\displaystyle = 0 - 4 \int _{- 1} ^{1} {x ^{3} f \left( x \right) dx} = - 60 따라서 ∫−11x3f(x)dx=15\displaystyle \int _{- 1} ^{1} {x ^{3} f \left( x \right) dx} = 15

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