부분합 점화식 일반항

자연수 $n$에 대하여 $S _{n+1} = S _{n} + a _{n+1}$이므로 $nS _{n+1} = ( n + 2 ) S _{n} + ( n + 1 ) ^{3}$에서 $n ( S _{n} + a _{n+1} ) = nS _{n} + 2 S _{n} + ( n + 1 ) ^{3}$ $\therefore na _{n+1} = 2 S _{n} + ( n + 1 ) ^{3}$ ($n \geq 2$) $\cdots \cdots \text{㉠}$ 이다. $2$ 이상의 자연수 $n$에 대하여 ㉠의 식에 $n$ 대신 $n - 1$을 대입하면 $( n - 1 ) a _{n} = 2 S _{n-1} + n ^{3} \cdots \cdots \text{㉡}$ 이고, ㉠에서 ㉡을 뺀 식으로부터 $\begin{aligned} na _{n + 1} - ( n - 1 ) a _{n} & = 2 ( S _{n} - S _{n - 1} ) + ( n + 1 ) ^{3} - n ^{3} = & 2 a _{n} + 3 n ^{2} + 3 n + 1 \end{aligned}$ $\therefore na _{n+1} = ( n + 1 ) a _{n} + \square {3 n ^{2} + 3 n + 1}$ (가) 를 얻는다. 양변을 $n ( n + 1 )$로 나누면 $\displaystyle \frac{a _{n+1}}{n + 1} = \frac{a _{n}}{n} + \frac{\square {3 n ^{2} + 3 n + 1}}{n ( n + 1 )} = \frac{a _{n}}{n} + 3 + \frac{1}{n ( n + 1 )}$ 이다. $\displaystyle b _{n} = \frac{a _{n}}{n}$이라 하면, $\displaystyle b _{n+1} = b _{n} + 3 + \square {\frac{1}{n ( n + 1 )}}$ (나) $( n \geq 2 )$ 이므로 $\displaystyle b _{n} = b _{2} + \sum\limits _{k=2} ^{n-1} \left( 3 + \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} \right)$ $\displaystyle = b _{2} + \square {3 ( n - 2 ) + \frac{1}{2} - \frac{1}{n}}$ (다) $( n \geq 3 )$ 이다. $\therefore f ( n ) = 3 n ^{2} + 3 n + 1$, $\displaystyle g ( n ) = \frac{1}{n ( n + 1 )}$, $\displaystyle h ( n ) = 3 n - \frac{11}{2} - \frac{1}{n}$이므로 $\displaystyle \frac{f ( 3 )}{g ( 3 ) h ( 6 )} = \frac{37}{\frac{1}{12} \times \left( 18 - \frac{11}{2} - \frac{1}{6} \right)} = \frac{37}{\frac{1}{12} \times \frac{74}{6}} = \frac{37}{\frac{2 \times 37}{72}} = 36$