부분합 점화식 급수

[출제의도] 부분합을 이용해서 무한급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다. $\displaystyle S _{n} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k}$이고 $a _{n + 1} = S _{n + 1} - S _{n}$이므로 $\displaystyle na _{n + 1} = \sum\limits _{k = 1} ^{n} a _{k}$에서 $n ( S _{n + 1} - S _{n} ) = S _{n}$ $\displaystyle \frac{S _{n + 1}}{S _{n}} = \frac{n + 1}{n}$의 양변의 $n$에 $1 , 2 , 3 , \cdots , n - 1$을 대입하여 변끼리 곱하면 $\displaystyle \frac{S _{2}}{S _{1}} \times \frac{S _{3}}{S _{2}} \times \frac{S _{4}}{S _{3}} \times \cdots \times \frac{S _{n}}{S _{n-1}} = \frac{2}{1} \times \frac{3}{2} \times \frac{4}{3} \times \cdots \times \frac{n}{n - 1}$ $\displaystyle \frac{S _{n}}{S _{1}} = n$ ∴ $\displaystyle S _{n} = n S _{1} = n a _{1} = \frac{n}{4}$ $\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{S _{n} S _{n + 2}} = 16 \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} \frac{1}{n ( n + 2 )}$$\displaystyle = 16 \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\sum\limits _{k = 1} ^{n}} \frac{1}{k ( k + 2 )}$ $\displaystyle = 8 \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {} \sum\limits _{n = 1} ^{n} \left( \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 2} \right)$$\displaystyle = 8 \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {\left( 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{n + 1} - \frac{1}{n + 2} \right)} = 12$