대수수열의 합수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

부분분수를 이용한 급수의 계산

문제

다음 두 수 a,ba , b에 대하여 [ab]\displaystyle \left[ \frac{a}{b} \right]의 값은? (단, [x][ x ]는 xx보다 크지 않은 최대의 정수이다.) [5점] a=∑k=110012k(2k−1)\displaystyle a = \sum\limits _{k=1} ^{100} \frac{1}{2 k ( 2 k - 1 )}, b=∑k=11001(100+k)(201−k)\displaystyle b = \sum\limits _{k=1} ^{100} \frac{1}{( 100 + k ) ( 201 - k )} ①150150②152152③154154④156156⑤158158

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①

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해설

a=∑k=1100(12k−1−12k)\displaystyle a = \sum\limits _{k = 1} ^{100} \left( \frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k} \right)=∑k=12001k−2∑k=110012k\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{200} \frac{1}{k} - 2 \sum\limits _{k = 1} ^{100} \frac{1}{2 k} =∑k=12001k−∑k=11001k\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{200} \frac{1}{k} - \sum\limits _{k = 1} ^{100} \frac{1}{k}=∑k=1012001k\displaystyle = \sum\limits _{k = 101} ^{200} \frac{1}{k} =∑k=11001k+100\displaystyle = \sum\limits _{k = 1} ^{100} \frac{1}{k + 100} b=∑k=1100−1(k−201)(k+100)\displaystyle b = \sum\limits _{k = 1} ^{100} \frac{- 1}{( k - 201 ) ( k + 100 )} =−1301∑k=1100(1k−201−1k+100)\displaystyle = \frac{- 1}{301} \sum\limits _{k = 1} ^{100} \left( \frac{1}{k - 201} - \frac{1}{k + 100} \right) =−1301(∑k=11001k−201−∑k=11001k+100)\displaystyle = \frac{- 1}{301} \left( \sum\limits _{k = 1} ^{100} \frac{1}{k - 201} - \sum\limits _{k = 1} ^{100} \frac{1}{k + 100} \right) =−1301(−∑k=11001k+101−∑k=11001k+100)\displaystyle = \frac{- 1}{301} \left( - \sum\limits _{k = 1} ^{100} \frac{1}{k + 101} - \sum\limits _{k = 1} ^{100} \frac{1}{k + 100} \right) =2301(∑k=11001k+100)\displaystyle = \frac{2}{301} \left( \sum\limits _{k = 1} ^{100} \frac{1}{k + 100} \right) ∴[ab]=[∑k=11001k+1002301∑k=11001k+100]=[3012]=150\displaystyle \therefore \left[ \frac{a}{b} \right] = \left[ \frac{\sum\limits _{k = 1} ^{100} \frac{1}{k + 100}}{\frac{2}{301} \sum\limits _{k = 1} ^{100} \frac{1}{k + 100}} \right] = \left[ \frac{301}{2} \right] = 150

태그

#부분분수#급수#가우스 기호

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